In einem Parkhaus befinden sich insgesamt 100 Parkplätze.
Im Parkhaus sind 20 Parkplätze frei; vier Autofahrer suchen jeweils einen Parkplatz. Formulieren Sie in diesem Sachzusammenhang zu den folgenden Termen jeweils eine Aufgabenstellung, deren Lösung sich durch den Term berechnen lässt.
\[\sf{α)} \; 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \qquad \qquad \sf{β)} \; \binom{20}{4}\]
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
α) Aufgabenstellung zu Term \(20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17\)
Der Term \(20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17\) beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, dass die vier Autofahrer nacheinander einen der 20 freien Parkplätze besetzen.
Der erste Autofahrer kann aus 20 Parkplätzen wählen, der zweite aus 19 Parkplätzen usw. Entsprechend dem allgemeinen Zählprinzip werden die Möglichkeiten multipliziert.
Allgemeines Zählprinzip
Allgemeines Zählprinzip
Wird ein Zufallsexperiment in \(k\) Stufen durchgeführt und gibt es in der ersten Stufe \(n_{1}\), in der zweiten Stufe \(n_{2}\) und in der \(k\)-ten Stufe \(n_{k}\) mögliche Ergebnisse, so gilt für die Anzahl \(N\) der insgesamt möglichen Ergebnisse:
\[N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot … \cdot n_{k}\]
Die Situation entspricht dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge."
Grundformeln der Kombinatorik
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulichen und simulieren. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Je nach Modell werden die Kugeln mit oder ohne Zurücklegen gezogen und es wird außerdem darauf geachtet, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln einen Rolle spielt.
Die nachfolgende Tabelle gibt für das jeweilige Urnenmodell den Term an, mit dem sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen lässt.
| | Mit Beachtung der Reihenfolge | Ohne Beachtung der Reihenfolge |
| Mit Zurücklegen | \(n^{k}\) | - nicht abiturrelevant - |
| Ohne Zurücklegen | \(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\) Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen) | \(\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\) (entspricht „Ziehen mit einem Griff", vgl. Binomialkoeffizient) |
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
Mögliche Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Anzahl der Möglichkeiten berechnen lässt, dass die vier Autofahrer nacheinander vier der 20 freien Parkplätze besetzen.
β) Aufgabenstellung zu Term \(\displaystyle \binom{20}{4}\)
Der Term \(\displaystyle \binom{20}{4}\) beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, dass die vier Autofahrer vier der 20 freien Parkplätze besetzen, wobei die Reihenfolge der Besetzungen untereinander nicht berücksichtigt wird. Angenommen die 20 freien Parkplätze wären mit den Nummern 1 bis 20 gekennzeichnet und es werden beispielsweise die freien Parkplätze 8, 13, 17 und 20 besetzt, so wird nicht unterschieden, welcher Autofahrer auf welchem Parkplatz steht.
Die Situation entspricht dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (Ziehen mit einem Griff)."
Grundformeln der Kombinatorik
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulichen und simulieren. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Je nach Modell werden die Kugeln mit oder ohne Zurücklegen gezogen und es wird außerdem darauf geachtet, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln einen Rolle spielt.
Die nachfolgende Tabelle gibt für das jeweilige Urnenmodell den Term an, mit dem sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen lässt.
| | Mit Beachtung der Reihenfolge | Ohne Beachtung der Reihenfolge |
| Mit Zurücklegen | \(n^{k}\) | - nicht abiturrelevant - |
| Ohne Zurücklegen | \(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\) Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen) | \(\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\) (entspricht „Ziehen mit einem Griff", vgl. Binomialkoeffizient) |
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
Mögliche Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Anzahl der Möglichkeiten berechnen lässt, dass die vier Autofahrer vier der 20 Parkplätze besetzen.
