Teilaufgabe 2b

Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

„Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen."

Der Satz bedeutet, dass die Höhe des im Mittel zu erwartenden Auszahlungsbetrages pro Spiel gleich dem Einsatz pro Spiel (5 Euro) ist (faires Spiel).

 

Es sei \(A\) die Zufallsgröße, welche den Auszahlungsbetrag pro Spiel in Euro beschreibt.

Der Erwartungswert \(E(A)\) ist gleich dem Eisatz pro Spiel.

Der Ansatz lautet somit: \(E(A) = 5\)

 

Es sei \(x\) der gesuchte Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(A\):

Ereignis „3 gleiche Farben" „3 versch. Farben" andere Kombination
\(A = a_{i}\) \(10\) \(x\) \(0\)
\(P(A = a_{i})\) \(\dfrac{1}{6}\) \(\dfrac{1}{6}\) \(1 - 2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\)

 

Erwartungswert \(E(A)\) beschreiben:

\[E(A) = 10 \cdot \frac{1}{6} + x \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \cdot (10 + x)\]

 

Höhe des Betrages \(x\) berechnen:

 

\[\begin{align*}E(A) &= 5 \\[0.8em] \frac{1}{6} \cdot (10 + x)\ &= 5 &&| \cdot 6 \\[0.8em] 10 + x &= 30 &&| - 10 \\[0.8em] x &= 20 \end{align*}\]

 

Wenn drei verschiedene Farben erscheinen, ist ein Betrag in Höhe von 20 Euro auszuzahlen.

 

Alternative

Die Aussage „Der zu erwartende Auszahlungsbetrag pro Spiel ist gleich dem Einsatz pro Spiel." ist gleichbedeutend mit der Aussage „Der zu erwartende Gewinn pro Spiel eines Spielers ist gleich Null." Beide Aussagen formulieren eine Bedingung für ein faires Spiel.

 

Es sei \(G\) die Zufallsgröße, welche den Gewinn pro Spiel eines Spielers in Euro beschreibt.

 

Ansatz: \(E(G) = 0\)

 

Es sei \(x\) der gesuchte Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\):

Gewinn = Auszahlungsbetrag - Einsatz

Ereignis „3 gleiche Farben" „3 versch. Farben" andere Kombination
\(G = g_{i}\) \(\textcolor{#0087c1}{10} - \textcolor{#cc071e}{5} = 5\) \(\textcolor{#0087c1}{x} - \textcolor{#cc071e}{5}\) \(\textcolor{#0087c1}{0} - \textcolor{#cc071e}{5} = -5\)
\(P(G = g_{i})\) \(\dfrac{1}{6}\) \(\dfrac{1}{6}\) \(1 - 2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\)

 

Erwartungswert \(E(G)\) beschreiben:

\[\begin{align*}E(G) &= 5 \cdot \frac{1}{6} + (x - 5) \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{2}{3} \\[0.8em] &= \frac{5}{6} + \frac{1}{6}x - \frac{5}{6} - \frac{10}{3} \\[0.8em] &= \frac{1}{6}x - \frac{20}{6} \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot (x - 20) \end{align*}\]

 

Höhe des Betrages \(x\) berechnen:

 

\[\begin{align*}E(G) &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{6} \cdot (x - 20)\ &= 0 &&| \cdot 6 \\[0.8em] x - 20 &= 0 &&| + 20 \\[0.8em] x &= 20 \end{align*}\]

 

Wenn drei verschiedene Farben erscheinen, ist ein Betrag in Höhe von 20 Euro auszuzahlen.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a Teilaufgabe 2c »