Teilaufgabe b

Beim Übergang zwischen den beiden Abschnitten des Bohrkanals muss die Bohrrichtung um den Winkel geändert werden, der im Modell durch den Schnittwinkel der beiden Geraden \(AP\) und \(PQ\) beschrieben wird. Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Die Größe des Schnittwinkels der Geraden \(AP\) und \(PQ\) entspricht der Größe des Winkels \(\varphi\) zwischen den Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AP}\) und \(\overrightarrow{PQ}\).

\(\overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\); \( \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\); \(\vert \overrightarrow{AP} \vert = 1\); \(\vert \overrightarrow{PQ} \vert = \sqrt{8{,}25}\) (vgl. Teilaufgabe a)

\[\begin{align*} \cos{\varphi} &= \frac{\overrightarrow{AP} \circ \overrightarrow{PQ}}{\vert \overrightarrow{AP} \vert \cdot \vert \overrightarrow{PQ} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix} }{1 \cdot \sqrt{8{,}25}} \\[0.8em] &= \frac{0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2{,}5)}{\sqrt{8{,}25}} \\[0.8em] &= \frac{2{,}5}{\sqrt{8{,}25}} &&| \; \text{TR}\; \cos^{-1}(\dots) \\[2.4em] \varphi &= \cos^{-1}\left( \frac{2{,}5}{\sqrt{8{,}25}} \right) \approx 29{,}5^{\circ} \end{align*}\] 

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe a Teilaufgabe c »