Teilaufgabe b

Begründen Sie, dass \(X\) nicht binomialverteilt ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

Unter der Annahme, dass die Zufallsgröße \(X\) nach \(B(n;p)\) binomialverteilt ist, muss

  • wegen der Wertemenge {0;1;2;3;4;5} für die Länge der Bernoulli-Kette \(\textcolor{#e9b509}{n = 5}\) und
  • wegen der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) für die Trefferwahrscheinlichkeit \(\textcolor{#0087c1}{p = 0{,}5}\) (vgl. Anmerkung)

gelten.

 

Damit lässt sich beispielsweise der tabellarisierte Wahrscheinlichkeitswert \(P(X \leq 0) = 0{,}05\) überprüfen:

 

\[\begin{align*} P_{\textcolor{#0087c1}{0{,}5}}^{\textcolor{#e9b509}{5}}(X \leq 0) &= P_{\textcolor{#0087c1}{0{,}5}}^{\textcolor{#e9b509}{5}}(X = 0) \\[0.8em] &= \underbrace{\binom{\textcolor{#e9b509}{5}}{0}}_{1} \cdot \underbrace{\textcolor{#0087c1}{0{,}5}^{0}}_{1} \cdot (1 - \textcolor{#0087c1}{0{,}5})^{\textcolor{#e9b509}{5} - 0} &&| \; \binom{n}{0} = 1; \; a^{0} = 1 \\[0.8em] &= \left(\frac{1}{2}\right)^{\textcolor{#e9b509}{5}} = \frac{1}{32} \textcolor{#cc071e}{\neq} 0{,}05 \end{align*}\]

 

Da der tabellarisierte Wert \(P(X \leq 0) = 0{,}05\) und der unter der Annahme einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) errechnete Wert \(P_{\textcolor{#0087c1}{0{,}5}}^{\textcolor{#e9b509}{5}}(X \leq 0) = \frac{1}{32}\) nicht übereinstimmen, kann die Zufallsgröße \(X\) nicht binomialverteilt sein.

 

Anmerkung:

Diese Teilaufgabe setzt die Kenntnis darüber voraus, dass im Falle einer symmetrischen Binomialverteilung \(p = 0{,}5\) ist.

Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

Wegen der Symmetrie müsste für eine beliebige Länge \(n\) der Bernoulli-Kette beispielsweise \(P(X = 0) = P(X = n)\) gelten.

 

\[\begin{align*} P(X = 0) &= P(X = n) \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{p^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{n - 0} &= \underbrace{\binom{n}{n}}_{1} \cdot p^{n} \cdot \underbrace{(1 - p)^{n - n}}_{1} \\[0.8em] (1 - p)^{n} &= p^{n}&&|\;\sqrt[n]{\phantom{xx}} \\[0.8em] 1 - p &= p&&|+p\\[0.8em] 1 &= 2p&&|:2\\[0.8em]0{,}5&=p\end{align*}\]

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