Teilaufgabe 1d

Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft.

Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel x = -1 des Graphen der Funktion  f, Tiefpunkt T(-1|2) des Graphen der Stammfunktion F

Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt \(F'(x) = f(x)\).

Da \(G_{f}\) die einfache Nullstelle \(\boldsymbol{x = -1}\) mit Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\textbf{-}}}\) nach \(\textcolor{#0087c1}{\textbf{+}}\) besitzt, ist der Punkt \(\textcolor{#e9bf09}{T(-1|2)}\) ein Tiefpunkt des Graphen der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) (Eintragungen in die Abbildung optional).

 

Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)

Mit \(f(-1) = \boldsymbol{F'(-1) = 0}\) beutet die Nullstelle \(x = -1\) von \(G_{f}\), dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = -1\) eine waagrechte Tangente hat.

Der Vorzeichenwechsel von \(\boldsymbol{G_{f}}\) an der Nullstelle \(\boldsymbol{x = -1}\) von \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\textbf{-}}}\) nach \(\textcolor{#0087c1}{\textbf{+}}\) bedeutet nach dem Monotoniekriterium, dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = -1\) das Monotonieverhalten von streng monoton fallend  zu streng monoton steigend wechselt.

Also ist \(\textcolor{#e9b509}{T(-1|2)}\) ein Tiefpunkt des Graphen der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\).

\[\left. \begin{align*} &\textcolor{#cc071e}{f(x) = F'(x) < 0} \enspace \text{für} \enspace x < -1 \\ &f(-1) = F'(-1) = 0 \\ &\textcolor{#0087c1}{f(x) = F'(x) > 0} \enspace \text{für} \enspace x > -1 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{\text{Tiefpunkt} \; T\,(-1|2)}\]

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