Am Ausgang des Freizeitparks gibt es einen Automaten, der auf Knopfdruck einen Anstecker mit einem lustigen Motiv bedruckt und anschließend ausgibt. Für den Druck wird aus \(n\) verschiedenen Motiven eines zufällig ausgewählt, wobei jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.
Ein Kind holt sich drei Anstecker aus dem Automaten.
Bestimmen Sie für den Fall \(n = 5\) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht alle drei Anstecker dasselbe Motiv haben.
(2 BE)
\(n = 5\): fünf verschiedene Motive
Da „jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat" (vgl. Angabe) stellt das Bedrucken eines Ansteckers mit einem zufällig ausgewählten Motiv ein Laplace-Experiment dar.
Durch die Betrachtung des Gegenereignisses „Alle drei Anstecker haben dasselbe Motiv" vereinfacht sich die Wahrscheinlichkeitsberechnung.
Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{5}^{\textcolor{#e9b509}{3}}\) Möglichkeiten, 3 Anstecker mit einem von 5 verschiedenen Motiven zu bedrucken.
Bei 5 verschiedenen Motiven gibt es \(\textcolor{#0087c1}{5}\) Möglichkeiten, dass alle drei Anstecker dasselbe Motiv haben.
\[\begin{align*}&\quad \enspace P(\text{„Nicht alle drei Anstecker haben dasselbe Motiv}) \\[0.8em] &= 1 - P(\text{„Alle drei Anstecker haben dasselbe Motiv}) \\[0.8em] &= 1 - \frac{\textcolor{#0087c1}{5}}{\textcolor{#0087c1}{5}^{\textcolor{#e9b509}{3}}} \\[0.8em] &= 1 - \frac{1}{25} \\[0.8em] &= \frac{24}{25} = 0{,}96 = 96\,\%\end{align*}\]
