Grundformeln der Kombinatorik
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulichen und simulieren. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Je nach Modell werden die Kugeln mit oder ohne Zurücklegen gezogen und es wird außerdem darauf geachtet, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln einen Rolle spielt.
Die nachfolgende Tabelle gibt für das jeweilige Urnenmodell den Term an, mit dem sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen lässt.
| Mit Beachtung der Reihenfolge | Ohne Beachtung der Reihenfolge |
Mit Zurücklegen | \(n^{k}\) | - nicht abiturrelevant - |
Ohne Zurücklegen | \(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\) Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen) | \(\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\) (entspricht „Ziehen mit einem Griff", vgl. Binomialkoeffizient) |
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)