Teilaufgabe 5

Betrachtet werden die folgenden Funktionsterme mit \(r,s \in \mathbb N\):

\(e(x) = \sqrt{x - r} \qquad \qquad  \\ \)\(f(x) = \ln x \qquad \qquad \\ \)\(\displaystyle g(x) = -\frac{1}{x} + s\)

Jeder der Terme beschreibt genau einen der folgenden Funktionsgraphen I,II und III. Ordnen Sie die Terme den Graphen zu und geben Sie die Werte der Parameter \(r\) und \(s\) an; begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

Graph I
Graph II
Graph III

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 5

 

Graph I entspricht \(G_f\) der Funktion \(f(x) = \ln x\).

Graph II entspricht \(G_e\) der Funktion \(e(x) = \sqrt{x - r}\) mit \(r = 1\).

Graph III entspricht \(G_g\) der Funktion \(\displaystyle g(x) = -\frac{1}{x} + s\) mit \(s = 1\).

 

Zuordnung der Funktionsgraphen nach dem Ausschlussprinzip

 

1. Betrachtung von Graph III

 

Graph III zeigt die waagrechte Asymptote \(y = 1\). Von allen gegebenen Funktionen besitzt einzig die Funktion \(g(x) = -\frac{1}{x} + s\) eine waagrechte Asymptote.

 

\[\lim \limits_{x \to +\infty} g(x) = \lim \limits_{x \to +\infty} -\underset{\to 0}{\frac{1}{x}} + s = s\]

\(\Longrightarrow \quad y = s\) ist waagrechte Asymptote. \(\quad \Longrightarrow \quad s = 1\)

\(\Longrightarrow \quad g(x) = \frac{1}{x} + s\) gehört zu Graph III

 

2. Betrachtung der Funktion \(f(x) = \ln x\)

 

Typischer Funktionswert der Funktion \(f\):

Für die Funktion \(f(x) = \ln x\) gilt \(f(e) = \ln e = 1\).

Graph I verläuft durch den Punkt \((e \approx 2{,}7|1)\).

 

Steigung der Tangenten an Graph I an der Nullstelle \(x = 1\):

An Graph I lässt sich an der Stelle \(x = 1\) mit hinreichender Genauigkeit die Tangente \(t\) anlegen, welche die Steigung \(m_t = 1\) hat.

Tangente t an Graph I an der Stelle x = 1

Tangente \(t\) an Graph I an der Stelle \(x = 1\)

\[f'(x) = \frac{1}{x}\]

\[f'(1) = \frac{1}{1} = 1 = m_t\]

 

\(\Longrightarrow \quad f(x) = \ln x\) gehört zu Graph I

 

3. Betrachtung von Graph ii)

 

Nach dem Ausschlussprinzip gehört die Funktion \(e(x) = \sqrt{x - r}\) zu Graph II. Dem Graphen entnimmt man den Punkt \((1|0)\).

 

\[\begin{align*} e(1) &= 0 \\[0.8em] \sqrt{1 - r} &= 0 & &| \; (\dots)^2 \\[0.8em] 1 - r &= 0 & &| +r \\[0.8em] 1 &= r  \end{align*}\]

 

Steigung der Tangenten an Graph II an der Nullstelle \(x = 1\):

Zur Bestätigung, dass die Funktion \(e(x) = \sqrt{x - r}\) zu Graph II gehört, kann die Steigung der Tangente an Graph II an der Stelle \(x = 1\) betrachtet werden.

Graph II lässt vermuten, dass die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an der Stelle \(x = 1\) unendlich ist, da Graph II an der Stelle \(x = 1\) offensichtlich senkrecht auf der \(x\)-Achse steht.

\[\begin{align*} e(x) = \sqrt{x - 1} = (x - 1)^{\frac{1}{2}} \quad \Longrightarrow \quad e'(x) &= \frac{1}{2} \cdot (x - 1)^{-\frac{1}{2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} \end{align*}\]

 

Grenzwertbetrachtung von \(e'\) für \(x \to 1^+\):

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,1^+} e'(x) = \lim \limits_{x\,\to\,1^+} \frac{1}{\underbrace{2\sqrt{x - 1}}_{\to\,0^+}} = +\infty \]

\[\Longrightarrow \quad m_t \to +\infty\]

\(\Longrightarrow \quad G_e \perp x\text{-Achse}\) an der Stelle \(x = 1\)

Tangente t an Graph II an der Stelle x = 1

Die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an Graph II ist unendlich. Graph II ist an der Stelle \(x = 1\) senkrecht zur \(x-Achse\).

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