Mathematik Beispiel-Abitur Bayern 2014 B Geometrie 1 - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe a

Eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet, lässt sich modellhaft durch die \(x_1x_2\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems beschreiben. Die \(x_1\)-Achse zeigt in Richtung Osten, die \(x_2\)-Achse in Richtung Norden; eine Längeneinheit im Modell entspricht 1 km in der Landschaft.

Ein Flugzeug \(F_1\) steigt unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn geradlinig auf - im Modell vom Punkt \(P\,(-10|0|0)\) aus entlang der Geraden

\(\displaystyle g_1\,\colon\, \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\,\).

Die Flugbahn eines Flugzeugs \(F_2\) verläuft im Modell entlang der Geraden

\(g_2\,\colon\, \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}, \enspace \mu \in \mathbb R\,\).

Geben Sie die Himmelsrichtung an, in der \(F_1\) fliegt, und begründen Sie, dass \(F_2\) eine konstante Flughöhe hält.

(3 BE) 

Teilaufgabe c

Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge senkrecht schneiden. Begründen Sie, dass die Flugzeuge dennoch - auch bei unveränderten Flugbahnen - nicht zwingend kollidieren.

(5 BE) 

Teilaufgabe d

Der Richtungsvektor von \(g_2\) beschreibt im Modell die konstante Geschwindigkeit des Flugzeugs \(F_2\) in \(\frac{\sf{km}}{\sf{min}}\). Geben Sie die physikalische Bedeutung des Parameters \(\mu\) an.

(2 BE)