Mathematik Abitur Bayern 2012 Analysis II Teil 1 - Aufgaben mit Lösungen

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\) sowie die Nullstelle vom \(f\,\).

(3 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle g \colon x \mapsto x \cdot e^{-2x}\,\).

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente hat.

(5 BE)

Geben Sie das Verhalten von \(g\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) an.

(2 BE)

Betrachtet wird die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto -\ln x + 3\,\).

Geben Sie an, wie der Graph von \(h\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln x\) hervorgeht

(2 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\).

(4 BE)

Warum hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle?

(1 BE)

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.

(3 BE)