Teilaufgabe 3

Geben Sie für \(x \in \mathbb R^+\) die Lösungen der folgenden Gleichung an:

\[(\ln x - 1) \cdot (e^x - 2) \cdot \left( \frac{1}{x} - 3 \right) = 0\]

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

\[(\ln x - 1) \cdot (e^x - 2) \cdot \left( \frac{1}{x} - 3 \right) = 0\]

 

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

 

Nullstelle des Faktors \((\ln x - 1)\):

 

\[\begin{align*} \ln x - 1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] \ln x &= 1 & &| \; \log_a a = 1 \\[0.8em] x &= e \end{align*}\]

  

Nullstelle des Faktors \((e^x - 2)\):

 

\[\begin{align*} e^x - 2 &= 0 & &| + 2 \\[0.8em] e^x &= 2 & &| \; \ln (\dots) \\[0.8em] x &= \ln 2 \end{align*}\]

 

Nullstelle des Faktors \(\displaystyle \left( \frac{1}{x} - 3 \right)\):

 

\[\begin{align*} \frac{1}{x} - 3 &= 0 & &| + 3 \\[0.8em] \frac{1}{x} &= 3 & &| \cdot x \\[0.8em] 1 &= 3x & &| : 3 \\[0.8em] \frac{1}{3} &= x \end{align*}\]

 

\[\mathbb L = \left\{ \frac{1}{3}; \ln 2; e \right\}\]

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