Teilaufgabe 2b

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Ereignisse:

• \(M\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Mädchen."
• \(J\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Junge."
• \(C\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person besitzt einen Computer."

 

Binomialverteilung

Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Anzahl der Jugendlichen, die einen Computer besitzen."

 

Analyse der Angabe:

 

>„...unter den 100 befragten Jugendlichen..."

\[\Longrightarrow \quad n = 100\]

 

„... dass ... genau 85 einen Computer besitzen...

\[\Longrightarrow \quad X = 85\]

 

„... wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen ... ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen."

\[\Longrightarrow p = P(C)\]

 

Anteil der Jugendlichen, die einen Computer besitzen berechnen:

Die Tabelle informiert über die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Jugendlichen, die einen Computer besitzen.

\[\vert M \cap C \vert = 77\]

\[\vert J \cap C \vert = 87\]

\[\vert \Omega \vert = 200\]

 

\[P(C) = \frac{\vert C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert M \cap C \vert + \vert J \cap C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{77 + 87}{200} = 0{,}82\]

 

Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, berechnen:

\[n = 100\,; \quad p = 0{,}82\]

 

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(100;0{,}82)\) binomialverteilt.

Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}82\). Die Wahrscheinlichkeit \(P^{100}_{0{,}82}(X=85)\) muss errechnet werden.

 

Anwenden der Formel von Bernoulli:

\[\begin{align*} P_{0{,}82}^{100}(X = 85) &= B(100;0{,}82;85) \\[0.8em] &= \binom{100}{85} \cdot 0{,}82^{85} \cdot (1 - 0{,}82)^{100 - 82} \\[0.8em] &= \binom{100}{85} \cdot 0{,}82^{85} \cdot 0{,}18^{15} \\[0.8em] &\approx 0{,}0807 = 8{,}07\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(100;0{,}82)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}82}^{100}(X = 85) = B(100;0{,}82;85)\)