Teilaufgabe 2b

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Ereignisse:

  • \(M\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Mädchen."
  • \(J\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Junge."
  • \(C\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person besitzt einen Computer."

 

Binomialverteilung

Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Anzahl der Jugendlichen, die einen Computer besitzen."

 

Analyse der Angabe:

 

>„...unter den 100 befragten Jugendlichen..."

\[\Longrightarrow \quad n = 100\]

 

„... dass ... genau 85 einen Computer besitzen...

\[\Longrightarrow \quad X = 85\]

 

„... wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen ... ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen."

\[\Longrightarrow p = P(C)\]

 

Anteil der Jugendlichen, die einen Computer besitzen berechnen:

Die Tabelle informiert über die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Jugendlichen, die einen Computer besitzen.

\[\vert M \cap C \vert = 77\]

\[\vert J \cap C \vert = 87\]

\[\vert \Omega \vert = 200\]

 

\[P(C) = \frac{\vert C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert M \cap C \vert + \vert J \cap C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{77 + 87}{200} = 0{,}82\]

 

Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, berechnen:

\[n = 100\,; \quad p = 0{,}82\]

 

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(100;0{,}82)\) binomialverteilt.

Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}82\). Die Wahrscheinlichkeit \(P^{100}_{0{,}82}(X=85)\) muss errechnet werden.

 

Anwenden der Formel von Bernoulli:

\[\begin{align*} P_{0{,}82}^{100}(X = 85) &= B(100;0{,}82;85) \\[0.8em] &= \binom{100}{85} \cdot 0{,}82^{85} \cdot (1 - 0{,}82)^{100 - 82} \\[0.8em] &= \binom{100}{85} \cdot 0{,}82^{85} \cdot 0{,}18^{15} \\[0.8em] &\approx 0{,}0807 = 8{,}07\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(100;0,82) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit B(100;0,82;85)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(100;0{,}82)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}82}^{100}(X = 85) = B(100;0{,}82;85)\) 

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