Teilaufgabe 2b
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Ereignisse:
- \(M\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Mädchen."
- \(J\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Junge."
- \(C\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person besitzt einen Computer."
Binomialverteilung
Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Anzahl der Jugendlichen, die einen Computer besitzen."
Analyse der Angabe:
>„...unter den 100 befragten Jugendlichen..."
\[\Longrightarrow \quad n = 100\]
„... dass ... genau 85 einen Computer besitzen...
\[\Longrightarrow \quad X = 85\]
„... wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen ... ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen."
\[\Longrightarrow p = P(C)\]
Anteil der Jugendlichen, die einen Computer besitzen berechnen:
Die Tabelle informiert über die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Jugendlichen, die einen Computer besitzen.
\[\vert M \cap C \vert = 77\]
\[\vert J \cap C \vert = 87\]
\[\vert \Omega \vert = 200\]
\[P(C) = \frac{\vert C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert M \cap C \vert + \vert J \cap C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{77 + 87}{200} = 0{,}82\]
Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, berechnen:
\[n = 100\,; \quad p = 0{,}82\]
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(100;0{,}82)\) binomialverteilt.
Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}82\). Die Wahrscheinlichkeit \(P^{100}_{0{,}82}(X=85)\) muss errechnet werden.
Anwenden der Formel von Bernoulli:
\[\begin{align*} P_{0{,}82}^{100}(X = 85) &= B(100;0{,}82;85) \\[0.8em] &= \binom{100}{85} \cdot 0{,}82^{85} \cdot (1 - 0{,}82)^{100 - 82} \\[0.8em] &= \binom{100}{85} \cdot 0{,}82^{85} \cdot 0{,}18^{15} \\[0.8em] &\approx 0{,}0807 = 8{,}07\,\% \end{align*}\]
Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(100;0{,}82)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}82}^{100}(X = 85) = B(100;0{,}82;85)\)