Teilaufgabe 3

Es ist zu vermuten, dass unter den Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, der Anteil derjenigen, die eine feste Spielkonsole besitzen, größer ist als unter den Jugendlichen, die kein Smartphone besitzen. Bestimmen Sie für die in der Tabelle erfassten 200 Jugendlichen, wie groß die Anzahl derjenigen Personen, die sowohl ein Smartphone als auch eine feste Spielkonsole besitzen, mindestens sein muss, damit die Vermutung für die in der Tabelle erfassten Jugendlichen zutrifft.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

Ereignisse:

  • \(M\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Mädchen."
  • \(J\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Junge."
  • \(S\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person besitzt ein Smartphone."
  • \(K\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person besitzt eine feste Spielkonsole."

 

1. Lösungsansatz: Direkter Vergleich

 

Da es sich bei den 200 Jugendlichen, wie in der Angabe zur Aufgabengruppe eingangs beschrieben, um eine repräsentative Auswahl handelt, kann die Vermutung auch als Vergleich von Wahrscheinlichkeiten formuliert werden:

„Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher, der ein Smartphone besitzt, auch eine feste Spielkonsole besitzt, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher, der kein Smartphone besitzt, eine feste Spielkonsole besitzt."

 

Vermutung formulieren:

\[\begin{align*}P_{S}(K) &> P_{\overline{S}}(K) \\[0.8em] \frac{P(S \cap K)}{P(S)} &> \frac{P(\overline{S} \cap K)}{P(\overline{S})} \\[0.8em] \frac{\frac{\vert S \cap K \vert}{\vert \Omega \vert}}{\frac{\vert S \vert}{\vert \Omega \vert}} &> \frac{\frac{\vert \overline{S} \cap K \vert}{\vert \Omega \vert}}{\frac{\vert \overline{S} \vert}{\vert \Omega \vert}} \\[0.8em] \frac{\vert S \cap K \vert}{\vert S \vert} &> \frac{\vert \overline{S} \cap K \vert}{\vert \overline{S} \vert} & &| \; \vert \overline{S} \cap K \vert = \vert K \vert - \vert S \cap K \vert \\[0.8em] \frac{\vert S \cap K \vert}{\vert S \vert} &> \frac{\vert K \vert - \vert S \cap K \vert}{\vert \overline{S} \vert} & &| \cdot \vert S \vert \cdot \vert \overline{S} \vert \\[0.8em] \vert S \cap K \vert \cdot \vert \overline{S} \vert &> \vert S \vert \cdot \big( \vert K \vert \cdot \vert S \cap K \vert \big) \\[0.8em] \vert S \cap K \vert \cdot \vert \overline{S} \vert &> \vert S \vert \cdot \vert K \vert - \vert S \vert \cdot \vert S \cap K \vert & &| + \vert S \vert \cdot \vert S \cap K \vert \\[0.8em] \vert S \cap K \vert \cdot \vert \overline{S} \vert + \vert S \vert \cdot \vert S \cap K \vert &> \vert S \vert \cdot \vert K \vert & &| \; \vert S \cap K \vert \;\text{ausklammern} \\[0.8em] \vert S \cap K \vert \cdot \big( \underbrace{\vert \overline{S} \vert + \vert S \vert}_{\vert \Omega \vert} \big) &> \vert S \vert \cdot \vert K \vert \\[0.8em] \vert S \cap K \vert \cdot \vert \Omega \vert &> \vert S \vert \cdot \vert K \vert & &| : \vert \Omega \vert \\[0.8em] \vert S \cap K \vert &> \frac{\vert S \vert \cdot \vert K \vert}{\vert \Omega \vert} \end{align*}\]

 

Die Tabelle zur Aufgabengruppe informiert über die Anzahl der Mädchen bzw. der Jungen, die ein Smartphone besitzen und über die Anzahl der Mädchen bzw. der Jungen, die eine feste Spielkonsole besitzen.

 

\[\vert M \cap S \vert = 42\,; \quad \vert J \cap S \vert = 52\]

\[\vert M \cap K \vert = 37\,; \quad \vert J \cap K \vert = 62\]

\[\vert \Omega \vert = 200\]

 

\(\vert S \cap K \vert\) gemäß Vermutung berechnen:

 

\[\begin{align*} \vert S \cap K \vert &> \frac{\vert S \vert \cdot \vert K \vert}{\vert \Omega \vert} \\[0.8em] &> \frac{\big(\vert M \cap S \vert + \vert J \cap S \vert \big) \cdot \big( \vert M \cap K \vert + \vert J \cap K \vert \big)}{\vert \Omega \vert} \\[0.8em] &> \frac{(42 + 52) \cdot (37 + 62)}{200} \\[0.8em] &> 46{,}53 \end{align*}\]

 

Unter den in der Tabelle erfassten 200 Jugendlichen müssen mindestens 47 Jugendliche sowohl ein Smartphone als auch eine feste Spielkonsole besitzen, damit die Vermutung für die in der Tabelle erfassten Jugendlichen zutrifft.

 

2. Lösungsansatz: Rückschluss auf alle Jugendlichen

 

Die Lösung lässt sich durch eine Vorüberlegung abkürzen:

Wenn die Vermutung zutrifft, dann muss es unter den Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen mehr Jugendliche geben, die eine feste Spielkonsole besitzen, als unter allen Jugendlichen. Denn wäre der Anteil derjenigen, die eine feste Spielkonsole besitzen unter den Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen und unter den Jugendlichen, die kein Smartphone besitzen, jeweils gleich groß, wäre auch der (durchschnittliche) Anteil unter allen Jugendlichen genauso groß.

 

\[\begin{align*}P_{S}(K) &> P(K) \\[0.8em] \frac{\vert S \cap K \vert}{\vert S \vert} &> \frac{\vert K \vert}{\vert \Omega \vert} & &| \cdot \vert S \vert \\[0.8em] \vert S \cap K \vert &> \frac{\vert S \vert \cdot \vert K \vert}{\vert \Omega \vert} \end{align*}\]

 

Für die weitere Berechnung siehe 1. Lösungsansatz.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b