Teilaufgabe 2b

Berechnen Sie den Erwartungswert der Auszahlung pro Spiel, wenn der Gewinn einer Eintrittskarte mit einer Auszahlung von fünfzehn Euro gleichgesetzt wird. Interpretieren Sie das Ergebnis.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Erwartungswert der Auszahlung pro Spiel

 

Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Auszahlungsbetrag pro Spiel in Euro"

 

Trefferwahrscheinlichkeiten der Nummern des Glücksrads berechnen:

\[P(\text{Nummer 1}) = \frac{24^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{15}\]

\[P(\text{Nummer 2}) = \frac{2 \cdot 24^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{2}{15}\]

\[P(\text{Nummer 3}) = \frac{3 \cdot 24^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\]

\[P(\text{Nummer 4}) = \frac{4 \cdot 24^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{4}{15}\]

\[P(\text{Nummer 5}) = \frac{2 \cdot 24^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):

Nummer 1 2 3 4 5
\(X = x_{i}\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(15\)
\(P(X = x_{i})\) \(\displaystyle \frac{1}{15}\) \(\displaystyle \frac{2}{15}\) \(\displaystyle \frac{1}{5}\) \(\displaystyle \frac{4}{15}\) \(\displaystyle \frac{1}{3}\)

 

Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\) berechnen:

\[E(X) = 1 \cdot \frac{1}{15} + 2 \cdot \frac{2}{15} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{4}{15} + 15 \cdot \frac{1}{3} = 7\]

 

Im Mittel beträgt der Auszahlungsbetrag pro Spiel 7 €.

 

Interpretation des Ergebnisses

Bei einem Eisatz von 6 € pro Spiel, macht ein Spieler im Mittel pro Spiel einen Gewinn von 1 €. Das Gewinnspiel des Supermarktes eignet sich deshalb nicht, um Geld für die Ausstattung des örtlichen Kindergartens einzunehmen.

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