Teilaufgabe 1a
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Funktionsterm bestimmen
\[f(x) = ax^{4} + bx^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\,; \enspace a, b \in \mathbb R\]
\(O\,(0|0)\) ist Terrassenpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Tangente) von \(G_{f}\)
\(W (1|-1)\) ist Wendepunkt von \(G_{f}\)
Bedingungen formulieren:
Um die Werte der Koeffizienten \(a\) und \(b\) bestimmen zu können sind zwei Bedingungen erforderlich, aus denen sich jeweils eine Gleichung für \(a\) und \(b\) formulieren lässt.
Die erste Bedingung ergibt sich aus: \(W (1|-1) \in G_{f}\).
\[\Longrightarrow \quad f(1) = -1\]
Die zweite Bedingung liefert die Eigenschaft „\(W (1|-1)\) ist Wendepunkt von \(G_{f}\)".
\[\Longrightarrow \quad f''(1) = 0\]
Zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) bilden:
\[\begin{align*} f(x) = ax^{4} + bx^{3} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= 4ax^{3} + 2bx^{2} \\[0.8em] f''(x) &= 12ax^{2} + 6bx \end{align*}\]
Gleichungen formulieren:
Aus den beiden Bedingungen \(f(1) = -1\) und \(f''(1) = 0 \) werden mit \(f(x) = ax^{4} + bx^{3}\) und \(f''(x) = 12ax^{2} + 6bx\) zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\) formuliert.
\[\begin{align*} f(1) &= -1 \\[0.8em] a \cdot 1^{4} + b \cdot 1^{3} &= -1 \\[0.8em] a + b &= -1 \\[3.3em] f''(1) &= 0 \\[0.8em] 12a \cdot 1^{2} + 6b \cdot 1 &= 0 \\[0.8em]12a + 6b &= 0 \end{align*}\]
Damit liegen zwei lineare Gleichungen für die zu bestimmenden Werte von \(a\) und \(b\) vor.
Lineares Gleichungssystem formulieren:
\[\begin{align*} \text{I}& & a + b &= -1 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace 12a + 6b &= 0 \end{align*}\]
Gleichungssystem lösen, beispielsweise mit dem Additionsverfahren (bzw. Subtraktion):
\[\begin{align*} \text{I}& & a + b &= -1 & &| \cdot 6 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace 12a + 6b &= 0 \\[3.2em] \text{I}& & 6a + 6b &= -6 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace 12a + 6b &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*} \text{II}\; - \; \text{I}\;\colon \enspace 6a &= 6 & &| : 6 \\[0.8em] a &= 1\end{align*}\]
\[\begin{align*} a = 1 \;\text{in I}\;\colon \enspace 1 + b &= -1 & &| -1 \\[0.8em] b &= -2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad f(x) = x^{4} - 2x^{3}\]
