Teilaufgabe 1a

Der Graph \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto ax^4 + bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\,(0|0)\) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

\(W\,(1|-1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_{f}\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Werte von \(a\) und \(b\).

(Ergebnis: \(a = 1, b = -2\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Koeffizienten eines Funktionsterms bestimmen

 

\[f(x) = ax^{4} + bx^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\,; \enspace a, b \in \mathbb R\]

\(O\,(0|0)\) ist Terrassenpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Tangente) von \(G_{f}\)

\(W (1|-1)\) ist Wendepunkt von \(G_{f}\)

 

Bedingungen formulieren:

Um die Werte der Koeffizienten \(a\) und \(b\) bestimmen zu können sind zwei Bedingungen erforderlich, aus denen sich jeweils eine Gleichung für \(a\) und \(b\) formulieren lässt.

 

Die erste Bedingung ergibt sich aus: \(W (1|-1) \in G_{f}\).

\[\Longrightarrow \quad f(1) = -1\]

 

Die zweite Bedingung liefert die Eigenschaft „\(W (1|-1)\) ist Wendepunkt von \(G_{f}\)".

\[\Longrightarrow \quad f''(1) = 0\]

 

Zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) bilden:

\[\begin{align*} f(x) = ax^{4} + bx^{3} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= 4ax^{3} + 2bx^{2} \\[0.8em] f''(x) &= 12ax^{2} + 6bx \end{align*}\]

 

Gleichungen formulieren:

Aus den beiden Bedingungen \(f(1) = -1\) und \(f''(1) = 0 \) werden mit \(f(x) = ax^{4} + bx^{3}\) und \(f''(x) = 12ax^{2} + 6bx\) zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\) formuliert.

 

\[\begin{align*} f(1) &= -1 \\[0.8em] a \cdot 1^{4} + b \cdot 1^{3} &= -1 \\[0.8em] a + b &= -1 \\[3.3em]  f''(1) &= 0 \\[0.8em] 12a \cdot 1^{2} + 6b \cdot 1 &= 0 \\[0.8em]12a + 6b &= 0 \end{align*}\]

 

Damit liegen zwei lineare Gleichungen für die zu bestimmenden Werte von \(a\) und \(b\) vor.

 

Lineares Gleichungssystem formulieren:

 

\[\begin{align*} \text{I}& & a + b &= -1 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace  12a + 6b &= 0 \end{align*}\]

 

Gleichungssystem lösen, beispielsweise mit dem Additionsverfahren (bzw. Subtraktion):

 

\[\begin{align*} \text{I}& & a + b &= -1 & &| \cdot 6 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace  12a + 6b &= 0 \\[3.2em] \text{I}& & 6a + 6b &= -6 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace  12a + 6b &= 0  \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \text{II}\; - \; \text{I}\;\colon \enspace 6a &= 6 & &| : 6 \\[0.8em] a &= 1\end{align*}\]

 

\[\begin{align*} a = 1 \;\text{in I}\;\colon \enspace 1 + b &= -1 & &| -1 \\[0.8em] b &= -2 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad f(x) = x^{4} - 2x^{3}\]

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