Teilaufgabe 2a

Nach einer aktuellen Erhebung leiden 25 % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden \(n\) Personen zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie, wie groß \(n\) mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Bernoullikette, Binomialverteilung, 3-Mindestens-Aufgabe

 

Die Angabe nennt für das Ereignis „Ein Einwohner Deutschlands leidet an einer Allergie." die konstante Wahrscheinlichkeit 25 %. Bei den ausgewählten Personen unter den Einwohnern Deutschlands werden nur die sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse „Person leidet an einer Allergie." und „Person leidet nicht an einer Allergie." unterschieden. Folglich kann die Auswahl der Personen als Bernoulli-Experiment mit der Länge der Bernoullikette \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) für das Ereignis „Person leidet an einer Allergie." beschrieben werden.

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der ausgewählten Personen beschreibt, die unter einer Allergie leiden.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(n;0{,}25)\) binomialverteilt. 

 

Gesucht ist die kleinstmögliche Anzahl \(n \in \mathbb N\) der mindestens auszuwählenden Personen (Stichprobenumfang, Länge der Bernoulli-Kette).

 

Ansatz formulieren:

 

„... damit ... mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet."

\[\Longrightarrow \quad P_{0{,}25}^{n}(X \geq 1)\]

 

„... mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % ..."

\[\Longrightarrow \quad P_{0{,}25}^{n}(X \geq 1) > 0{,}99\]

 

Anzahl \(n\) der mindestens auszuwählenden Personen berechnen:

Hierfür wird das Gegenereignis zu dem Ereignis „Mindestens eine der ausgewählten Personen leidet an einer Allergie" betrachtet. Das Gegenereignis lautet: „Nicht keine der ausgewählten Personen leidet an einer Allergie."

\[\begin{align*} P_{0{,}25}^{n}(X \geq 1) &> 0{,}99 & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}25}^{n}(X = 0) &> 0{,}99 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}25}^{n}(X = 0) &> -0{,}01 & &| \cdot (-1) \enspace \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}25}^{n}(X = 0) &< 0{,}01 & &| \; P_{0{,}25}^{n}(X = 0)\;\text{ausformulieren} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{{0{,}25}^{0}}_{1} \cdot (1 - 0{,}25)^{n - 0} &< 0{,}01 \\[0.8em] {0{,}75}^{n} &< 0{,}01 & &| \;\text{Logarithmieren, z.B.}\; \ln \\[0.8em] \ln\left( {0{,}75}^{n} \right) &< \ln 0{,}01 & &| \; \log_{a}\left(b^{n}\right) = n \cdot \log_{a}b \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}75 &< \ln 0{,}01 & &| : \ln 0{,}75 < 0 \enspace \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}75} \\[0.8em] n &\gtrapprox 16{,}00785 &&| \; n \in \mathbb N \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad n = 17\]

 

Es müssen mindestens 17 Personen ausgewählt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet.

 

Anmerkung:

Grundsätzlich lässt sich diese Aufgabe auch mit einem geeigneten Stochastischen Tafelwerk (ST) lösen. Einziges Problem: Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Tabelle für \(n = 17\). Die nächstgelegenen Längen der Bernoulli-Kette sind \(n = 15\) und \(n = 20\).

 

\[\begin{align*}P_{0{,}25}^{n}(X = 0) &< 0{,}01 \\[0.8em] B(n;0{,}25;0) &< 0{,}01 \end{align*}\]

 

Das Stochastische Tafelwerk (ST) mit Abiturzulassung liefert:

 

\[P_{0{,}25}^{15}(X = 0) = B(15;0{,}25;0) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}01336\]

\(\Longrightarrow \quad\)Bedingung nicht erfüllt.

 

\[P_{0{,}25}^{20}(X = 0) = B(20;0{,}25;0) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}00317\]

\(\Longrightarrow \quad\)Bedingung erfüllt.

 

Zwar erfüllt \(n = 20\) die Bedingung \(P_{0{,}25}^{n}(X = 0) < 0{,}01\), jedoch ist \(n = 20\) nicht die gesuchte kleinstmögliche Anzahl \(n\) der Personen, die mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet.

 

Fazit:

Sogenannte „3-Mindestens-Aufgaben" der Variante „Mindestens 1 Treffer", die nach der Länge der Bernoulli-Kette \(n\) fragen, sollten durch Rechnung gelöst werden. Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung ist wegen des begrenzten Umfangs dafür zu unzuverlässig.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1 Teilaufgabe 2b »