Teilaufgabe 1b

Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird.

(1 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Binomialverteilte Zufallsgröße, Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeitsberechnung nach dem Urnenmodell - Ziehen mit Zurücklegen

 

Anmerkung:

Der Term ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen.

 

\[\binom{10}{2} \cdot p^{2} \cdot (1 - p)^{8}\]

 

Begründung:

Es handelt sich um ein Bernoulli-Exoeriment. Das Zufallsexperiment unterscheidet nur die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse „Blauer Sektor wird getroffen" und „Blauer Sektor wird nicht getroffen" Das betrachtete Ereignis „Blauer Sektor wird getroffen" ist bei jeder Drehung des Glücksrads mit \(p\) konstant (vgl. Angabe). Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Die Länge der Bernoullikette ist also \(n = 10\).

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl beschreibt, wie oft das Ereignis „Blauer Sektor wird getroffen" eintritt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(10;p)\) binomialverteilt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) den Wert \(2\) annimmt, das heißt, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird, lässt sich wie folgt berechnen:

\[P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot p^{2} \cdot (1 - p)^{8}\]

 

Alternative Begründung:

Das Zufallsexperiment kann mit dem Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" beschrieben werden.

Aus einer Urne, in der der Anteil schwarzer Kugeln \(p\) ist, werden zehn Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Kugeln schwarz sind, ergibt sich zu (vgl. Merkhilfe):

\[P(\text{„genau 2 schwarze Kugeln"}) = \binom{10}{2} \cdot p^{2} \cdot (1 - p)^{8}\]

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