Teilaufgabe 2b

Das Parkhaus ist nun mit 100 Autos besetzt, von denen 40 mit ESP ausgerüstet sind.

Sieben von diesen 100 Autos sind Kleinwagen und nicht mit ESP ausgerüstet, 90 sind keine Kleinwagen. Betrachtet werden folgende Ereignisse.

\(E\): „Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet."

\(K\): „Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen."

Geben Sie die Bedeutung von \(P_{K}(E)\) im Sachzusammenhang an und ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit: Bedeutung im Sachzusammenhang und Berechnung

 

Bedeutung von \(P_{K}(E)\) im Sachzusammenhang

 

\(E\): „Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet."

\(K\): „Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen."

\(P_{K}(E)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein im Parkhaus zufällig ausgewählter Kleinwagen mit ESP ausgerüstet ist.

 

Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P_{K}(E)\)

\[P_{K}(E) = \frac{P(K \cap E)}{P(K)}\]

 

Gegeben sind die Anzahlen des Ereignisses \(\overline{K}\), der Schnittmenge \(K \cap \overline{E}\) und des Ergebnisraums \(\Omega\) (vgl. Angabe):

 

\(\vert \overline{K} \vert = 90\)

\(\vert K \cap \overline{E} \vert = 7\)

\(\vert \Omega \vert = 100\)

 

Veranschaulichung mithilfe einer Vierfeldertafel:

 

  \(E\) \(\overline{E}\)  
\(K\)    \(7\)  
\(\overline{K}\)      \(90\)
      \(100\)

Vierfeldertafel der Anzahlen

  

Wahrscheinlichkeiten \(P(K)\) und \(P(K \cap E)\) ermitteln:

 

\[P(K) = 1 - P(\overline{K}) = 1 - \frac{\vert \overline{K} \vert}{\vert \Omega \vert} = 1 - \frac{90}{100} = 1 - 0{,}9 = 0{,}1\]

 

\[\begin{align*} P(K \cap E) + P(K \cap \overline{E}) &= P(K) & &| - P(K \cap \overline{E}) \\[0.8em] P(K \cap E) &= P(K) - P(K \cap \overline{E}) \\[0.8em] &= P(K) - \frac{\vert K \cap \overline{E} \vert}{\vert \Omega \vert} \\[0.8em] &= 0{,}1 - \frac{7}{100} \\[0.8em] &= 1 - 0{,}07 \\[0.8em] &= 0{,}03  \end{align*}\]

 

Veranschaulichung mithilfe einer Vierfeldertafel:

 

  \(E\) \(\overline{E}\)  
\(K\) \(\boldsymbol{0{,}03}\) \(0{,}07\) \(\boldsymbol{0{,}1}\)
\(\overline{K}\)     \(0{,}9\)
      \(1\)

Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{K}(E)\) berechnen: 

\[\begin{align*}P_{K}(E) &= \frac{P(K \cap E)}{P(K)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}03}{0{,}1} \\[0.8em] &= 0{,}3 \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a Teilaufgabe 2c »