Für \(0 \leq x \leq 5\) gilt, dass der Graph von \(f\) und der Graph einer trigonometrischen Funktion \(h\)
● die gleichen Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzen,
● beide nicht unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen,
● jeweils mit der \(x\)-Achse eine Fläche des Inhalts \(\frac{625}{72}\) einschließen.
Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion \(h\).
(6 BE)
Der Graph der Sinusfunktion \(x \mapsto \sin{x}\) verläuft zwischen den Nullstellen \(x = 0\) und \(x = \pi\) oberhalb der \(x\)-Achse.
Deshalb ist es zweckmäßig, als Ansatz für die Funktion \(h\) ebenfalls eine Sinusfunktion zu wählen.
\(h(x) = a \cdot \sin{(bx)}\) mit \(a, b > 0\)
Der Parameter \(b > 0\) bewirkt eine Streckung mit dem Streckungsfaktor \(\dfrac{1}{b}\) des Graphen der Sinusfunktion \(x \mapsto \sin{x}\) in positive \(x\)-Richtung und beeinflusst so die Lage der Nullstelle \(x = \pi\), ohne die Lage der Nullstelle \(x = 0\) zu verändern.
Der Parameter \(a > 0\) bewirkt eine Streckung des Graphen der Sinusfunktion \(x \mapsto \sin{(bx)}\) in \(y\)-Richtung. Die Streckung beeinflusst den Inhalt des Flächenstücks, welches der entstehende Graph \(G_{h}\) für \(0 \leq x \leq 5\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Die durch den Parameter \(b\) festgelegten Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 5\) bleiben erhalten.
Anmerkung:
Eine Verschiebung in x- bzw. y-Richtung kommt nicht in Frage, da diese jeweils die Lage der Nullstelle \(x = 0\) der Sinusfunktion \(x \mapsto \sin{x}\) unerwünscht verändern würde.
Wert des Parameters \(b\) ermitteln:
\(x = 5\) soll die erste positive Nullstelle von \(h\) sein. Die erste positive Nullstelle der Sinusfunktion ist \(\pi\). Dann muss mit \(h(5) = 0\) gelten:
\[\begin{align*}h(5) &= 0 \\[0.8em] a \cdot \sin{(b \cdot 5)} &= 0 &&| \; \sin{\pi} = 0; \enspace (a \neq 0) \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad b \cdot 5 = \pi \quad \Longleftrightarrow \quad b = \frac{\pi}{5}\]
Alternative Berechnung von \(b\) mithilfe der Periode \(p\) von \(h\):
Wenn \(x = 5\) die erste positive Nullstelle von \(h\) sein soll, muss die Sinusfunktion \(h\) die Periode \(p = 10\) haben.
\[\begin{align*} p = \frac{2\pi}{b} \quad \Longleftrightarrow \quad b &= \frac{2\pi}{p} \\[0.8em] &= \frac{2\pi}{10} \\[0.8em] &= \frac{\pi}{5} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad h(x) = a \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{5}x \right)}\]
\(b = \dfrac{\pi}{5}\) bedeutet eine Streckung des Graphen der Sinusfunktion \(x \mapsto \sin{x}\) mit dem Streckungsfaktor \(\dfrac{1}{b} = \dfrac{5}{\pi}\).
Wert des Parameters \(a\) ermitteln:
\(G_{h}\) soll für \(0 \leq x \leq 5\) mit der \(x\)-Achse eine Fläche des Inhalts \(\frac{625}{72}\) einschließen. Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{5}h(x)dx\) kann als Maßzahl dieses Flächeninhalts interpretiert werden.
\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad \int_{0}^{5}h(x)dx &= \frac{625}{72} \\[0.8em] \int_{0}^{5} a \cdot \sin\left( \frac{\pi}{5}x \right) dx &= \frac{625}{72} \end{align*}\]
Durch Auflösen des Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{5} a \cdot \sin\left( \frac{\pi}{5}x \right) dx\) ergibt sich eine Gleichung zur Bestimmung des Parameters \(a\).
Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{5}h(x)dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(h(x) = a \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{5}x \right)}\) benötigt. Die Menge aller Stammfunktionen von \(h\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int h(x)dx\)
\[\begin{align*}\int h(x)dx &= \int a \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{5}x \right)} \\[0.8em] &= a \cdot \frac{1}{\frac{\pi}{5}} \cdot \left( -\cos{\left( \frac{\pi}{5}x \right)} \right) + C \\[0.8em] &= a \cdot \frac{5}{\pi} \cdot \left(-\cos\left( \frac{\pi}{5}x \right) \right) + C\end{align*}\]
Für \(C = 0\) ist \(H \colon x \mapsto a \cdot \dfrac{5}{\pi} \cdot \left(-\cos\left( \dfrac{\pi}{5}x \right) \right)\) eine Stammfunktion von \(h\)
\[\begin{align*} \int_{0}^{5}h(x)dx &= \frac{625}{72} \\[0.8em] \int_{0}^{5} a \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{5}x \right)}dx &= \frac{625}{72} \\[0.8em] \left[ a \cdot \dfrac{5}{\pi} \cdot \left(-\cos\left( \dfrac{\pi}{5}x \right) \right) \right]_{0}^{5} &= \frac{625}{72} \\[0.8em] a \cdot \left[ -\frac{5}{\pi} \cos{\left( \frac{\pi}{5}x \right)} \right]_{0}^{5} &= \frac{625}{72} \\[0.8em] a \cdot \left[ -\frac{5}{\pi} \cos{\left( \frac{\pi}{5} \cdot 5 \right)} - \left( -\frac{5}{\pi} \cos{\left( \frac{\pi}{5} \cdot 0 \right)} \right) \right] &=\frac{625}{72} \\[0.8em] a \cdot \left[-\frac{5}{\pi} \cdot (-1) - \left( -\frac{5}{\pi} \cdot 1 \right) \right] &= \frac{625}{72} \\[0.8em] a \cdot \left( \frac{5}{\pi} + \frac{5}{\pi} \right) &= \frac{625}{72} \\[0.8em] a \cdot \frac{10}{\pi} &= \frac{625}{72} &&| \cdot \frac{\pi}{10} \\[0.8em] a &= \frac{125}{144}\pi \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad h(x) = \frac{125}{144}\pi \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{5}x \right)}\]
