Teilaufgabe 3b

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Die Aufgabenstellung gibt die Bedingung \(Var(Y) = \frac{11}{8}\) vor.

Außerdem gilt: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Werte \(k\) der Zufallsgröße \(Y\) ist gleich Eins.

\[Var(Y) = \frac{11}{8}\]

\[\sum P(Y = k) = 1\]

Aus den beiden Bedingung lässt sich jeweils eine Gleichung für die zu bestimmenden Werte der Wahrscheinlichkeiten \(a\) und \(b\) formulieren.

\(\textcolor{#cc071e}{\mu = E(Y) = 2}\) (vgl. Teilaufgabe 3a)

\[\begin{align*}Var(Y) &= (\textcolor{#89ba17}{0} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{a} + (\textcolor{#89ba17}{1} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{b} + (\textcolor{#89ba17}{2} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{8}} + (\textcolor{#89ba17}{3} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{b} + (\textcolor{#89ba17}{4} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{a} \\[0.8em] &= 4a + b + b + 4a \\[0.8em] &= 8a + 2b \end{align*}\]

Mit \(Var(Y) = \frac{11}{8}\) folgt:

\[8a + 2b = \frac{11}{8}\quad \enspace \text{(Gleichung I)}\]

\[\begin{align*}\sum P(Y = k) &= \textcolor{#e9b509}{a + b + \frac{3}{8} + b + a} \\[0.8em] &= 2a + 2b + \frac{3}{8}\end{align*}\]

Mit \(\sum P(Y = k) = 1\) folgt:

\[\begin{align*} 2a + 2b + \frac{3}{8} &= 1 &&| - \frac{3}{8} \\[0.8em] 2a + 2b &= \frac{5}{8}&& \text{(Gleichung II)} \end{align*}\]

Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, das sich beispielsweise mit dem Additionsverfahren lösen lässt (hier Subtraktion).

\[\begin{align*} \text{I} & & & 8a + 2b = \frac{11}{8} \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & 2a + 2b = \frac{5}{8} \end{align*}\]

\[\begin{align*}\text{II}\; - \;\text{I}\,\colon \enspace 8a - 2a + 2b - 2b &= \frac{11}{8} - \frac{5}{8}\\[0.8em] 6a &= \frac{6}{8} &&| : 6 \\[0.8em] a &= \frac{1}{8} \end{align*}\]

\[\begin{align*}a = \frac{1}{8}\; \text{in II}\,\colon \enspace 2 \cdot \frac{1}{8} + 2b &= \frac{5}{8} \\[0.8em] \frac{2}{8} + 2b &= \frac{5}{8} &&| - \frac{2}{8} \\[0.8em] 2b &= \frac{3}{8} &&| : 2 \\[0.8em] b &= \frac{3}{16} \end{align*}\]