Die Varianz von \(Y\) ist gleich \(\frac{11}{8}\).
Bestimmen Sie die Werte von \(a\) und \(b\).
(5 BE)
Die Varianz von \(Y\) ist gleich \(\frac{11}{8}\).
Bestimmen Sie die Werte von \(a\) und \(b\).
(5 BE)
Die Aufgabenstellung gibt die Bedingung \(Var(Y) = \frac{11}{8}\) vor.
Außerdem gilt: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Werte \(k\) der Zufallsgröße \(Y\) ist gleich Eins.
\[Var(Y) = \frac{11}{8}\]
\[\sum P(Y = k) = 1\]
Aus den beiden Bedingung lässt sich jeweils eine Gleichung für die zu bestimmenden Werte der Wahrscheinlichkeiten \(a\) und \(b\) formulieren.
\(\textcolor{#cc071e}{\mu = E(Y) = 2}\) (vgl. Teilaufgabe 3a)
\(\textcolor{#89ba17}{k}\) | \(\textcolor{#89ba17}{0}\) | \(\textcolor{#a9ba17}{1}\) | \(\textcolor{#89ba17}{2}\) | \(\textcolor{#89ba17}{3}\) | \(\textcolor{#89ba17}{4}\) |
\(\textcolor{#e9b509}{P(Y = k)}\) | \(\textcolor{#e9b509}{a}\) | \(\textcolor{#e9b509}{b}\) | \(\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{8}}\) | \(\textcolor{#e9b509}{b}\) | \(\textcolor{#e9b509}{a}\) |
\[\begin{align*}Var(Y) &= (\textcolor{#89ba17}{0} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{a} + (\textcolor{#89ba17}{1} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{b} + (\textcolor{#89ba17}{2} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{8}} + (\textcolor{#89ba17}{3} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{b} + (\textcolor{#89ba17}{4} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{a} \\[0.8em] &= 4a + b + b + 4a \\[0.8em] &= 8a + 2b \end{align*}\]
Mit \(Var(Y) = \frac{11}{8}\) folgt:
\[8a + 2b = \frac{11}{8}\quad \enspace \text{(Gleichung I)}\]
\(k\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
\(\textcolor{#e9b509}{P(Y = k)}\) | \(\textcolor{#e9b509}{a}\) | \(\textcolor{#e9b509}{b}\) | \(\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{8}}\) | \(\textcolor{#e9b509}{b}\) | \(\textcolor{#e9b509}{a}\) |
\[\begin{align*}\sum P(Y = k) &= \textcolor{#e9b509}{a + b + \frac{3}{8} + b + a} \\[0.8em] &= 2a + 2b + \frac{3}{8}\end{align*}\]
Mit \(\sum P(Y = k) = 1\) folgt:
\[\begin{align*} 2a + 2b + \frac{3}{8} &= 1 &&| - \frac{3}{8} \\[0.8em] 2a + 2b &= \frac{5}{8}&& \text{(Gleichung II)} \end{align*}\]
Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, das sich beispielsweise mit dem Additionsverfahren lösen lässt (hier Subtraktion).
\[\begin{align*} \text{I} & & & 8a + 2b = \frac{11}{8} \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & 2a + 2b = \frac{5}{8} \end{align*}\]
\[\begin{align*}\text{II}\; - \;\text{I}\,\colon \enspace 8a - 2a + 2b - 2b &= \frac{11}{8} - \frac{5}{8}\\[0.8em] 6a &= \frac{6}{8} &&| : 6 \\[0.8em] a &= \frac{1}{8} \end{align*}\]
\[\begin{align*}a = \frac{1}{8}\; \text{in II}\,\colon \enspace 2 \cdot \frac{1}{8} + 2b &= \frac{5}{8} \\[0.8em] \frac{2}{8} + 2b &= \frac{5}{8} &&| - \frac{2}{8} \\[0.8em] 2b &= \frac{3}{8} &&| : 2 \\[0.8em] b &= \frac{3}{16} \end{align*}\]
Wegen der Corona Pandemie sind einige Inhalte für die schriftliche Mathematik Abiturprüfung 2021 nicht prüfungsrelevant.
„... bedeutet nicht, dass diese Inhalte im Unterricht nicht zu behandeln sind, sie können ggf. auch zum Gegenstand kleiner und großer Leistungsnachweise gemacht werden." (Zitat ISB*)
Mathematik Abitur 2021 - nicht prüfungsrelevant
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* ISB: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München