Teilaufgabe 3a

Zehn 40- bis 44-jährige Frauen wurden zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(A\,\colon\;\)„Unter ihnen sind genau drei Raucherinnen."

\(B\,\colon\;\)„Unter ihnen sind höchstens vier Raucherinnen." 

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

Ereignisse:

\(R\): "Raucher"

\(\overline R\): "Nichtraucher"

\(M\): "männlich"

\(W\): "weiblich" (\(W = \overline{M}\))

 

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(A\): "Unter ihnen sind genau drei Raucherinnen"

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der 40-44-jährigen Raucherinnen"

 

Analyse der Angabe:

 

"Zehn 40-44-jährige Frauen ..."

\[\Longrightarrow \quad n = 10\]

 

"... genau drei Raucherinnen"

\[\Longrightarrow \quad X = 3\]

 

Aus dem Diagramm abzulesen:

\[P(40-44, W, R) = 0{,}30\]

 

Binomialverteilung

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(10;0{,}3)\) binomialverteilt.

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[P(A) = P^{10}_{0{,}3}(X = 3) = B(10; 0{,}3; 3) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}26683 \approx 26{,}7 \, \%\]

 

Alternative: Anwenden der Formel von Bernoulli:

\[\begin{align*} P(A) &= P^{10}_{0{,}3}(X =3) = B(10; 0{,}3; 3) \\[0.8em] &= \binom{10}{3} \cdot 0{,}3^3 \cdot (1 - 0{,}3)^{10 - 3} \\[0.8em] &= \binom{10}{3} \cdot 0{,}3^{3} \cdot 0{,}7^{7} \\[0.8em] &\approx 0{,}267 = 26{,}7 \, \% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(10;0,3) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit P(A) = P(X = 3)

 

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(B\): "Unter ihnen sind höchstens vier Raucherinnen"

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der 40-44-jährigen Raucherinnen"

 

Analyse der Angabe:

 

"Zehn 40-44-jährige Frauen ..."

\[\Longrightarrow \quad n = 10\]

 

"... höchstens vier Raucherinnen"

\[\Longrightarrow \quad X \leq 4\]

 

Aus dem Diagramm abzulesen:

\[P(40-44, W, R) = 0{,}30\]

 

Binomialverteilung

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(10;0{,}3)\) binomialverteilt.

 

\[P(B) = P^{10}_{0{,}3}(X \leq 4)\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[P(B) = F^{10}_{0{,}3}(4) = P^{10}_{0{,}3}(X \leq 4) = \sum_{i \, = \, 0}^{4} B(10; 0{,}3; i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}84973 \approx 85{,}0 \, \%\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(10;0,3) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit P(B) = P(x ≤ 4)

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