Teilaufgabe 2b
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\(S\colon\enspace\)„Die Stoffwechselstörung liegt vor."
\(T\colon\enspace\)„Das Testergebnis ist positiv."
Analyse der Angabe (siehe Teilaufgabe 2a):
„Bei 0,074 % der neugeborenen Kinder liegt eine bestimmte Stoffwechselstörung vor."
\(\Longrightarrow \quad P(S) = 0{,}00074\)
„Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,5 % positiv."
\(\Longrightarrow \quad P_S(T) = 0{,}995\)
„Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung nicht vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 0,78 %.
\(\Longrightarrow \quad P_{\overline{S}}(T) = 0{,}0078\)
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(T)\) und \(P_T(S)\)
Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(T)\):
Baumdiagramm für die Ereignisse \(S\) und \(T\)
Anwenden der Knotenregel:
\[\begin{align*} P(S) + P(\overline{S}) &= 1 & &| - P(S) \\[0.8em] P(\overline{S}) &= 1 - P(S) \\[0.8em] &= 1 - 0{,}00074 \\[0.8em] &= 0{,}99926 \end{align*}\]
Anwenden der 1. Pfadregel:
\[P(S \cap T) = P(S) \cdot P_S(T)\]
\[P(\overline{S} \cap T) = P(\overline{S}) \cdot P_{\overline{S}}(T)\]
Anwenden der 2. Pfadregel:
\[\begin{align*}P(T) &= P(S \cap T) + P(\overline{S} \cap T) \\[0.8em] &= P(S) \cdot P_S(T) + P(\overline{S}) \cdot P_{\overline{S}}(T) \\[0.8em] &= 0{,}00074 \cdot 0{,}995 + 0{,}99926 \cdot 0{,}0078 \\[0.8em] &\approx 0{,}00853 \\[0.8em] &\approx 0{,}85\,\%\end{align*}\]
Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P_T(S)\):
\[\begin{align*} P_T(S) &= \frac{P(T \cap S)}{P(T)} \\[0.8em] &= \frac{P(S \cap T)}{P(T)} \\[0.8em] &= \frac{P(S) \cdot P_S(T)}{P(S) \cdot P_S(T) + P(\overline{S}) \cdot P_{\overline{S}}(T)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}00074 \cdot 0{,}995}{0{,}00074 \cdot 0{,}995 + 0{,}99926 \cdot 0{,}0078} \\[0.8em] &\approx 0{,}0863 \\[0.8em] &= 8{,}63\,\% \end{align*}\]
Interpretation des Ergebnisses für \(P_T(S)\) im Sachzusammenhang
Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_T(S)\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes neugeborenes Kind, bei dem das Testegebnis positiv ist, tatsächlich eine bestimmte Stoffwechselstörung hat.
Diese Wahrscheinlichkeit ist mit 8,63 % sehr niedrig. Ein positives Testergebnis liefert somit keine verlässliche Aussage darüber, ob eine Stoffwechselstörung vorliegt.
