Teilaufgabe 2c

 Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert \(\frac{\sf{1}}{\sf{10}}\) so geändert werden, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

1. Lösungsansatz: Gleiche bedingte Wahrscheinlichkeiten

 

Damit die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind, müssen die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_{C}(D)\) und \(P_{\overline{C}}(D)\) an den zweiten Pfaden des Baumdiagramms denselben Wert haben.

 

Baumdiagramm für stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse C und D

Baumdiagramm für stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse \(C\) und \(D\)

 

Schnittmengenwahrscheinlichkeit \(P(\overline{C} \cap D)\) berechnen:

 

\(\displaystyle P(C) = \frac{2}{3}\) (siehe Teilaufgabe 1b)

 

Anwenden der zweiten Pfadregel und der Knotenregel:

\[\begin{align*} P(\overline{C} \cap D) &= P(\overline{C}) \cdot P_{\overline{C}}(D) \\[0.8em] &= (1 - P(C)) \cdot P_{\overline{C}}(D) \\[0.8em] &= \left(1 - \frac{2}{3} \right) \cdot \frac{3}{5} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \\[0.8em] &= \frac{1}{5} \end{align*}\]

 

Damit die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind, muss der Wert \(\displaystyle \frac{1}{10}\) für die Schnittmengenwahrscheinlichkeit \(P(\overline{C} \cap D)\) auf \(\displaystyle \frac{1}{5}\) geändert werden.

 

Probe:

\(\displaystyle P(C \cap D) = \frac{2}{5}\,; \quad P(C) = \frac{2}{3}\) (siehe Teilaufgabe 2b)

\[\begin{align*}P(C) \cdot P(D) &= P(C) \cdot (P(C \cap D) + P(\overline{C} \cap D)) \\[0.8em] &= \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \right) \\[0.8em] &= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \\[0.8em] &= \frac{2}{5}\end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind unabhängig.

 

2.Lösungsansatz: Stochastische Unabhängigkeit formulieren

 

Es soll sich nur der Wert der Schnittmengenwahrscheinlichkeit \(\displaystyle P(\overline{C} \cap D) = \frac{1}{10}\) ändern. Die Wahrscheinlichkeiten \(\displaystyle P_{C}(D) = \frac{3}{5}\) und \(\displaystyle P(C \cap D) = \frac{2}{5}\) gelten weiterhin (siehe Abbildung zur Teilaufgabe 2).

 

Damit die Ereignisse \(C\) und \(D\) - und damit auch deren Gegenereignisse - unabhängig sind, muss für die Schnittmengenwahrscheinlichkeit \(P(\overline{C} \cap D)\) gelten:

 

\[P(\overline{C} \cap D) = P(\overline{C}) \cdot P(D)\]

 

Wahrscheinlichkeit \(P(\overline{C})\) berechnen:

 

\(\displaystyle P(C) = \frac{2}{3}\) (siehe Teilaufgabe 2b)

 

\[P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]

 

Wahrscheinlichkeit \(P(D)\) berechnen:

 

\[\begin{align*}P(C \cap D) &= P(C) \cdot P(D) & &| : P(C) \\[0.8em] \frac{P(C \cap D)}{P(C)} &= P(D) \\[0.8em] \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}} &= P(D) \\[0.8em] \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} &= P(D) \\[0.8em] \frac{3}{5} &= P(D) \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeit \(P(\overline{C} \cap D)\) berechnen:

 

\[P(\overline{C} \cap D) = P(\overline{C}) \cdot P(D) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}\]

 

Damit die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind, muss der Wert \(\displaystyle \frac{1}{10}\) für die Schnittmengenwahrscheinlichkeit \(P(\overline{C} \cap D)\) auf \(\displaystyle \frac{1}{5}\) geändert werden.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b