Teilaufgabe 3a

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Baumdiagramm und Pfadregeln anwenden

Ereignisse festlegen, beispielsweise wie folgt:

\(T\): „Das Testergebnis ist positiv."

\(\overline{T}\): „Das Testergebnis ist negativ."

\(A\): „Person leidet an einer Tierhaarallergie."

\(\overline{A}\): „Person leidet nicht an einer Tierhaarallergie."

Analyse der Angabe:

„... zeigt sich, dass der Hauttest ... mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,5 % ein positives Testergebnis liefert."

\[\Longrightarrow P(T) = 0{,}395\]

„Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % positiv."

\[\Longrightarrow \quad P_{A}(T) = 0{,}85\]

„Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % ebenfalls positiv."

\[\Longrightarrow \quad P_{\overline{A}}(T) = 0{,}35\]

Veranschaulichung mithilfe eines Baumdiagramms:

Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\):

Mithilfe der 1. und der 2. Pfadregel lässt sich die Wahrscheinlichkeit \(P(T)\) formulieren. Auf die unbekannte Wahrscheinlichkeit \(P(\overline{A})\) wendet man die Knotenregel an und erhält somit einen Gleichung für die zu berechnende Wahrscheinlichkeit \(P(A)\).

\[\begin{align*} P(A \cap T) + P(\overline{A} \cap T) &= P(T) \\[0.8em] \underbrace{\underbrace{P(A) \cdot P_{A}(T)}_{\large \text{1. Pfadregel}}  + \underbrace{P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(T)}_{\large \text{1. Pfadregel}}}_{\large \text{2. Pfadregel}} &= P(T) & &| \; P(\overline{A}) = 1 - P(A) \\[0.8em] P(A) \cdot P_{A}(T) + (1 - P(A)) \cdot P_{\overline{A}}(T) &= P(T) \\[0.8em] P(A) \cdot P_{A}(T) + P_{\overline{A}}(T) - P(A) \cdot P_{\overline{A}}(T) &= P(T) & &| \; P(A) \; \text{ausklammern} \\[0.8em]  P(A) \cdot (P_{A}(T) - P_{\overline{A}}(T)) + P_{\overline{A}}(T) &= P(T) & &| - P_{\overline{A}}(T) \\[0.8em] P(A) \cdot (P_{A}(T) - P_{\overline{A}}(T)) &= P(T) - P_{\overline{A}}(T) & &| : (P_{A}(T) - P_{\overline{A}}(T)) \\[0.8em] P(A) &= \frac{P(T) - P_{\overline{A}}(T)}{P_{A}(T) - P_{\overline{A}}(T)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}395 - 0{,}35}{0{,}85 - 0{,}35} \\[0.8em] &=0{,}09 \\[0.8em] &= 9\,\% \end{align*}\]

Der Anteil der Bevölkerung Deutschlands, der allergisch auf Tierhaare reagiert, beträgt 9 %.

Die Beschreibung des Lösungswegs wird übersichtlicher, wenn man die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) beispielsweise durch \(p\) sowie \(P(\overline{A})\) durch \(1 - p\) ersetzt, und den Ansatz mithilfe der Werte der gegebenen Wahrscheinlichkeiten formuliert.

Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten

\(P(A) = p\), \(P(\overline{A}) = 1 - p\)

\[\begin{align*} p \cdot 0{,}85 + (1 - p) \cdot 0{,}35 &= 0{,}395 \\[0.8em] p \cdot 0{,}85 + 0{,}35 - p \cdot 0{,}35 &= 0{,}395 & &| \; p \; \text{ausklammern} \\[0.8em] p \cdot (0{,}85 - 0{,}35) + 0{,}35 &= 0{,}395 & &| - 0{,}35 \\[0.8em] p \cdot 0{,}5 &= 0{,}045 & &| : 0{,}5 \\[0.8em] p &= 0{,}09 \\[0.8em] &= 9\,\% \end{align*}\]

\[P(A) = p = 9\,\%\]

Der Anteil der Bevölkerung Deutschlands, der allergisch auf Tierhaare reagiert, beträgt 9 %.