Teilaufgabe d

Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Pflanze heran, die aufgrund schädlicher Einflüsse jedoch in manchen Fällen keine Gurken trägt. Bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität A entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % eine fruchtragende Pflanze, bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 %. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass - unabhängig von der Qualität der Samenkörner - von jeder fruchtragenden Pflanze gleich viele Gurken geerntet werden können.

Ein Samenkorn der Qualität A kostet 17 Cent, eines der Qualität B 12 Cent. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob es für einen Anbaubetrieb finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität A zu beschränken, oder ob es finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität B zu beschränken, wenn er alle Gurken zum selben Preis verkauft.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Mehrstufiges Zufallsexperiment im Sachzusammenhang anwenden

 

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

 

\(K\): „Samenkorn keimt"

\(\overline{K}\): „Samenkorn keimt nicht."

\(F\): „Aus einem gekeimten Samenkorn entsteht eine fruchttragende Pflanze."

\(\overline{F}\): „Aus einem gekeimten Samenkorn entsteht keine fruchttragende Pflanze."

 

1. Lösungsansatz: Kosten für eine fruchttragende Pflanze vergleichen

Der Anbaubetrieb investiert pro Samenkorn einen bestimmten Betrag. Die Kosten für eine fruchtragende Pflanze hängen von der Wahrscheinlichkeit ab, mit der aus einem Samenkorn eine fruchttragende Pflanze entsteht.

 

Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus einem Samenkorn eine fruchttragende Pflanze entsteht:

 

Baumdiagramm Qualität A

 

Baumdiagramm: Samenkorn der Qualität A

Qualität A: \(P(K) = 0{,}95\) (vgl. Angabe) und \(P_{K}(F) = 0{,}85\) (vgl. Angabe Teilaufgabe d)

 

\[P(K \cap F) = 0{,}95 \cdot 0{,}85 = 0{,}8075\]

Baumdiagramm Qualität B

 

Baumdiagramm: Samenkorn der Qualität B

Qualität B: \(P(K) = 0{,}7\) (vgl. Angabe) und \(P_{K}(F) = 0{,}75\) (vgl. Angabe Teilaufgabe d)

 

\[P(K \cap F) = 0{,}7 \cdot 0{,}75 = 0{,}525\]

 

Kosten für eine fruchttragende Pflanze vergleichen: 

Preis pro Samenkorn der Qualität A: 17 Cent (vgl. Angabe)

Preis pro Samenkorn der Qualität B: 12 Cent (vgl. Angabe)

 

Kosten für eine fruchttragende Pflanze der Qualität A:

 

\[\frac{17\;\sf{Cent}}{0{,}8075} \approx 21\;\sf{Cent}\]

 

Kosten für eine fruchttragende Pflanze der Qualität B:

 

\[\frac{12\;\sf{Cent}}{0{,}525} \approx 23\;\sf{Cent}\]

 

Ergebnis:

Es ist für den Anbaubetrieb finanziell günstiger, sich auf Samenkörner der Qualität A zu beschränken.

 

2. Lösungsansatz: Anzahl der Samenkörner, aus denen eine fruchtragende Pflanze entsteht, vergleichen

Zunächst wird angenommen, dass der Anbaubetrieb Samenkörner der Qualität A und der Qualität B zu je einem vergleichbaren Betrag, beispielsweise 100 Euro, kauft. Anhand der Kosten pro Samenkorn lässt sich daraus jeweils die Anzahl der Samenkörner beider Qualitäten berechnen, die der Anbaubetrieb erhält. Diese Anzahlen werden mit der Wahrscheinlichkeit dafür bewertet, dass aus aus einem Samenkorn eine fruchttragende Pflanze entsteht. Abschließend lassen sich die Anzahlen der Samenkörner beider Qualitäten, aus denen eine fruchttragende Pflanze entsteht, direkt vergleichen.

 

Annahme: Der Anbaubetrieb kauft Samenkörner der Qualität A und der Qualität B für je 100 Euro.

  

Anzahl \(N\) der Samenkörner berechnen, die der Anbaubetrieb für 100 Euro erhält:

Preis pro Samenkorn der Qualität A: 17 Cent (vgl. Angabe)

Preis pro Samenkorn der Qualität B: 12 Cent (vgl. Angabe)

 

\[N_{A} = \frac{b}{0{}17} = \frac{100}{0{,}17} \approx 588\]

\[N_{B} = \frac{b}{0{}17} = \frac{100}{0{,}12} \approx 833\]

 

Für je 100 Euro erhält der Anbaubetrieb ca. 588 Samenkörner der Qualität A und ca. 833 Samenkörner der Qualität B.

 

Anzahl \(N_{F}\) der Samenkörner der Qualität A bzw. B berechnen, aus denen eine fruchtragende Pflanze entsteht:

Eine fruchttragende Pflanze entsteht, wenn ein Samenkorn keimt und wenn sich aus dem gekeimten Samenkorn eine fruchttragende Pflanze entwickelt.

 

\[\Longrightarrow \quad N_{F} = N \cdot P(K \cap F)\]

 

Baumdiagramm Qualität A

 

Baumdiagramm: Samenkorn der Qualität A

Qualität A: \(P(K) = 0{,}95\) (vgl. Angabe) und \(P_{K}(F) = 0{,}85\) (vgl. Angabe Teilaufgabe d)

 

\[P(K \cap F) = 0{,}95 \cdot 0{,}85 = 0{,}8075\]

 

\[\begin{align*}N_{F_{A}} &= N_{A} \cdot 0{,}8075 \\[0.8em] &= 588 \cdot 0{,}8075 \\[0.8em] &\approx 475 \end{align*}\]

Baumdiagramm Qualität B

 

Baumdiagramm: Samenkorn der Qualität B

Qualität B: \(P(K) = 0{,}7\) (vgl. Angabe) und \(P_{K}(F) = 0{,}75\) (vgl. Angabe Teilaufgabe d)

 

\[P(K \cap F) = 0{,}7 \cdot 0{,}75 = 0{,}525\]

 

\[\begin{align*}N_{F_{B}} &= N_{B} \cdot 0{,}525 \\[0.8em] &= 833 \cdot 0{,}525 \\[0.8em] &\approx 437 \end{align*}\]

 

Ergebnis:

Kauft der Anbaubetrieb für je 100 Euro Samenkörner der Qualität A und der Qualität B, so entsteht aus 475 Samenkörnern der Qualität A und aus 437 Samenkörnern der Qualität B je eine fruchttragende Pflanze. Folglich ist es für den Anbaubetrieb finanziell günstiger, sich auf Samenkörner der Qualität A zu beschränken.

 

3. Lösungsansatz: Verlustanteil der Kosten pro Samenkorn vergleichen

Der Anbaubetrieb investiert pro Samenkorn einen bestimmten Betrag \(b\). Ein Samenkorn der Qualität A kostet 17 Cent, eines der Qualität B 12 Cent (vgl. Angabe). Der Investitionsbetrag lässt sich in einen Gewinnanteil \(g\) und einen Verlustanteil \(v\) (jeweils in Cent)) zerlegen.

 

\[g + v = b\]

 

Nur wenn ein Samenkorn keimt und aus dem gekeimten Samenkorn eine fruchtragende Pflanze entsteht \((K \cap F)\), führt der Investitionsbetrag \(b\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(K \cap F)\) zu einer Ernte und damit zu einem Gewinn. Andernfalls entsteht ein Verlust.

 

\[g = P(K \cap F) \cdot b\]

 

\[\begin{align*} g + v &= b & &| - g \\[0.8em] v &= b - g \\[0.8em] &= b - P(K \cap F) \cdot b \end{align*}\]

 

Ein Vergleich der pro Samenkorn entstehenden Verluste \(v_{A}\) und \(v_{B}\) der Qualitäten A und B zeigt, ob es für den Anbaubetrieb finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität A oder der Qualität B zu beschränken.

 

Verlust pro Samenkorn der Qualität A bzw. der Qualität B in Cent:

 

\[v_{A} = 17 - P(K \cap F) \cdot 17\]

\[v_{B} = 12 - P(K \cap F) \cdot 12\]

 

Anmerkung:

Die Gewinnanteile \(g_{A}\) und \(g_{B}\) der Samenkörner der Qualitäten A bzw. B lassen sich nicht direkt vergleichen, weil die Investitionsbeträge \(b_{A}\) und \(b_{B}\) verschieden sind.

 

Wahrscheinlichkeit \(P(K \cap F)\) für Samenkörner der Qualität A bzw. der Qualität B ermitteln:

Das Keimen der Samenkörner und die Entstehung einer fruchtragenden Pflanze lässt sich als zweistufiges Zufallsexperiment auffassen.

 

Baumdiagramm Qualität A

 

Baumdiagramm: Samenkorn der Qualität A

Qualität A: \(P(K) = 0{,}95\) (vgl. Angabe) und \(P_{K}(F) = 0{,}85\) (vgl. Angabe Teilaufgabe d)

Baumdiagramm Qualität B

 

Baumdiagramm: Samenkorn der Qualität B

Qualität B: \(P(K) = 0{,}7\) (vgl. Angabe) und \(P_{K}(F) = 0{,}75\) (vgl. Angabe Teilaufgabe d)

 

Verlust pro Samenkorn der Qualität A bzw. der Qualität B berechnen:

Mithilfe der 1. Pfadregel ergibt sich:

\[\begin{align*}v_{A} &= 17 - P(K \cap F) \cdot 17 \\[0.8em] &= 17 - 0{,}95 \cdot 0{,}85 \cdot 17 \\[0.8em] &\approx 3{,}3 \end{align*}\]

 

Pro gekauftem Samenkorn der Qualität A entsteht dem Anbaubetrieb ein Verlust in Höhe von 3,3 Cent.

 

\[\begin{align*}v_{B} &= 12 - P(K \cap F) \cdot 12 \\[0.8em] &= 12 - 0{,}7 \cdot 0{,}75 \cdot 17 \\[0.8em] &= 5{,}7 \end{align*}\]

 

Pro gekauftem Samenkorn der Qualität B entsteht dem Anbaubetrieb ein Verlust in Höhe von 5,7 Cent.

 

Schlussfolgerung:

Für den Anbaubetrieb ist es finanziell günstiger, sich auf Samenkörner der verlustärmeren Qualität A zu beschränken.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe c Teilaufgabe e »