Stelle orthogonaler Tangenten zweier Funktionsgraphen
Dieser Aufgabentyp gibt zwei differenzierbare Funktionen \(f\) und \(g\) vor (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit) und fragt nach derjenigen Stelle \(x_{0}\), an der die Tangenten an die Funktionsgraphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) orthogonal (zueinander senkrecht) sind.
Stelle \(x_{0}\), an der Die Tangenten der Graphen zweier Funktionen \(f\) und \(g\) orthogonal (zueinander senkrecht) sind.
Die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x_{0}\) ist gleich der Steigung \(m_{T}\) der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle \(x_{0}\) (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung).
\[m_{T_{f}} = f'(x_{0})\]
\[m_{T_{g}} = g'(x_{0})\]
Für die Steigungen \(m_{1}\) und \(m_{2}\) zweier zueinander senkrechter Geraden gilt: \(m_{1} \cdot m_{2} = -1 \enspace \Leftrightarrow \enspace m_{1} = -\dfrac{1}{m_{2}}\) (vgl. Abiturskript - 1.1.1 Lineare Funktion, Steigung einer Geraden).
Folglich muss für die Orthogonalität der Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) zweier Funktionsgraphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) an einer Stelle \(x_{0}\) gelten:
\[\begin{align*} m_{T_{f}} &= -\frac{1}{m_{T_{g}}} \\[0.8em] f'(x_{0}) &= -\frac{1}{g'(x_{0})} \end{align*}\]
Beispiel:
Gegeben seien die in \(\mathbb R\) definierten und diferenzierbaren Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}25x^{2} + 2x - 4\) und \(g \colon x \mapsto -0{,}5x^{2} - 2x + 4\). Ermitteln Sie diejenigen Stellen, an denen die Tangenten der Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) orthogonal sind.
\[f(x) = 0{,}25x^{2} + 2x - 4; \; D_{f} = \mathbb R\]
\[g(x) = -0{,}5x^{2} - 2x + 4; \; D_{g} = \mathbb R\]
Steigungen der Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung):
\[m_{T_{f}} = f'(x)\]
\[m_{T_{g}} = g'(x)\]
Bedingung für die Orthogonalität der Tangenten an die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\):
\[\begin{align*} m_{T_{f}} &= -\frac{1}{m_{T_{g}}} \\[0.8em] f'(x_{0}) &= -\frac{1}{g'(x_{0})} \end{align*}\]
Erste Ableitung \(f'\) und \(g'\) bilden (vgl. Abiturskript - 1.5.2 Ableitungsregeln):
Die Erste Ableitung der Funktionsterme \(f(x)\) und \(g(x)\) lässt sich mithilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitung einer Potenzfunktion formulieren.
\[f(x) = 0{,}25x^{2} + 2x - 4\]
\[f'(x) = 0{,}25 \cdot 2 \cdot x + 2 = 0{,}5x + 2\]
\[g(x) = -0{,}5x^{2} - 2x + 4\]
\[g'(x) = -0{,}5 \cdot 2 \cdot x - 2 = -x - 2\]
Stellen orthogonaler Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) berechnen:
\[\begin{align*} m_{T_{f}} &= -\frac{1}{m_{T_{g}}} \\[0.8em] f'(x_{0}) &= -\frac{1}{g'(x_{0})} \\[0.8em] 0{,}5x + 2 &= -\frac{1}{-x - 2}\end{align*}\]
Der Nennerterm \(-x - 2\) darf nicht gleich Null sein. Als mögliche Lösungen kommen somit alle \(x \in \mathbb R \backslash \{-2\}\) in Frage.
Die Bruchgleichung wird zunächst mit dem Nennerterm \(-x - 2\) multipliziert. Aus der entstehenden Gleichung wird eine quadratische Gleichung formuliert und darauf die Lösungsformel für quadratische Gleichungen angewendet (vgl. Abiturskript - 1.1.2 Quadratische Funktion, Lösungsformel für quadratische Gleichungen).
\[\begin{align*} 0{,}5x + 2 &= -\frac{1}{-x - 2} & &| \cdot (-x - 2) \\[0.8em] (0{,}5x + 2) \cdot (-x - 2) &= -1 \\[0.8em] -0{,}5x^{2} - x - 2x - 4 &= -1 \\[0.8em] -0{,}5x^{2} - 3x - 4 &= - 1 & &| + 1 \\[0.8em] -0{,}5x^{2} - 3x - 3 &= 0 \end{align*}\]
Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden:
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4 \cdot (-0{,}5) \cdot (-3)}}{2 \cdot (-0{,}5)} \\[0.8em] &= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 6}}{-1} \\[0.8em] &= -3 \pm \sqrt{3} \end{align*}\]
\[x_{1} = -3 - \sqrt{3} \approx -4{,}73\]
\[x_{2} = -3 + \sqrt{3} \approx -1{,}27\]
An den Stellen \(x_{1} = -3 -\sqrt{3}\) und \(x_{2} = -3 + \sqrt{3}\) sind die Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) der Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) jeweils orthogonal (senkrecht zueinander).
Stellen \(x_{1} = -3 - \sqrt{3}\) und \(x_{2} = -3 + \sqrt{3}\), an denen die Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) der Graphen der Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}25x^{2} + 2x - 4\) und \(g \colon x \mapsto -0{,}5x^{2} - 2x + 4\) jeweils orthogonal (senkrecht zueinander) sind.
