Berührpunkt zweier Funktionsgraphen
Ein Berührpunkt der Funktionsgraphen zweier gegebener Funktionen \(f\) und \(g\) erfüllt zwei Bedingungen. Einmal stimmen die Steigungen der Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x_{0}\) des Berührpunkts überein. Und zugleich stimmen die Funktionswerte der Funktionen \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x_{0}\) des Berührpunkts überein. Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) besitzen somit im Berührpunkt eine gemeinsame Tangente.
Die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x_{0}\) ist gleich der Steigung \(m_{T}\) der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle \(x_{0}\) (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung).
\[m_{T_{f}} = f'(x)\]
\[m_{T_{g}} = g'(x)\]
1. Bedingung: Gleiche Steigung der Graphen \(\boldsymbol{G_{f}}\) und \(\boldsymbol{G_{g}}\) an einer Stelle \(\boldsymbol{x_{0}}\)
\[\begin{align*}m_{T_{f}} &= m_{T_{g}} \\[0.8em] f'(x_{0}) &= g'(x_{0})\end{align*}\]
(vgl. 1.5.9 Seite 1 - Stelle mit gleicher Steigung zweier Funktionsgraphen)
2. Bedingung: Gemeinsamer Punkt der Graphen \(\boldsymbol{G_{f}}\) und \(\boldsymbol{G_{g}}\) an der Stelle \(\boldsymbol{x_{0}}\)
\[f(x_{0}) = g(x_{0})\]
Im Falle eines Berührpunkts besitzen die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) an der Stelle \(x_{0}\) eine gemeinsame Tangente \(T\) und es gilt: \(f'(x_{0}) = g'(x_{0})\).
Im Falle eines Schnittpunkts besitzen die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) an der Stelle \(x_{0}\) verschiedene Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) und es gilt: \(f'(x_{0}) \neq g'(x_{0})\).
Vorgehensweise - Bestimmung eines Berührpunkts
In einem ersten Schritt wird die Gleichung \(f'(x) = g'(x)\) nach \(x\) aufgelöst. Jede Lösung der Gleichung ist eine mögliche Stelle \(x_{0}\) eines Berührpunkts.
Anschließend wird die Gültigkeit der Gleichung \(f(x_{0}) = g(x_{0})\) überprüft. Gilt \(f(x_{0}) = g(x_{0})\), liegt an der Stelle \(x_{0}\) eine Berührpunkt vor. Gilt \(f(x_{0}) \neq g(x_{0})\), besitzen die Graphen der Funktion \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x_{0}\) die gleiche Steigung, ohne sich zu berühren (vgl. 1.5.9 Seite 1 - Stelle mit gleicher Steigung zweier Funktionsgraphen).
Graphen zweier Funktionen \(f\) und \(g\) mit einem Berührpunkt an der Stelle \(x_{0}\). Es gilt: \(f(x_{0}) = g(x_{0})\)
Graphen zweier Funktionen \(f\) und \(g\) mit gleicher Steigung an der Stelle \(x_{0}\) ohne Berührpunkt. Es gilt: \(f(x_{0}) \neq g(x_{0})\)
Beispiel:
Gegeben sei die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{4}{x^{2}}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\) sowie die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto -\dfrac{1}{4}x^{2} + 2\). Überprüfen Sie rechnerisch, ob sich die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) der Funktionen \(f\) und \(g\) berühren.
\[f(x) = \frac{4}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
\[g(x) = -\frac{1}{4}x^{2} + 2; \; D_{g} = \mathbb R\]
Ansatz für Stellen gleicher Steigung von \(G_{f}\) und \(G_{g}\):
Die Steigung \(m_{T_{f}}\) einer Tangente \(T_{f}\) an den Graphen \(G_{f}\) und die Steigung \(m_{T_{g}}\) einer Tangente \(T_{g}\) an den Graphen \(G_{g}\) müssen gleich groß sein. Die Funktionsterme \(f'(x)\) und \(g'(x)\) beschreiben die Tangentensteigung der Tangenten an die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\).
\[\begin{align*}m_{T_{f}} &= m_{T_{g}} \\[0.8em] f'(x) &= g'(x)\end{align*}\]
Erste Ableitung \(f'\) und \(g'\) bilden (vgl. Abiturskript - 1.5.2 Ableitungsregeln):
Der Funktionsterm \(f(x)\) kann in der Potenzschreibweise formuliert werden und lässt sich anschließend mithilfe der Faktorregel, und der Ableitung einer Potenzfunktion ableiten (Alternative: Quotientenregel anwenden). Die Ableitung des Funktionsterms \(g(x)\) erfolgt mithilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitung einer Potenzfunktion.
\[f(x) = \frac{4}{x^{2}} = 4x^{-2}\]
\[f'(x) = 4 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = -8x^{-3} = -\frac{8}{x^{3}}\]
\[g(x) = -\frac{1}{4}x^{2} + 2\]
\[g'(x) = -\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot x + 0 = -\frac{1}{2}x \]
Stellen gleicher Steigung der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) berechnen:
\[\begin{align*}f'(x) &= g'(x) \\[0.8em] -\frac{8}{x^{3}} &= -\frac{1}{2}x^{2} & &| \cdot x^{3} \\[0.8em] -8 &= -\frac{1}{2}x^{4} & &| \cdot (-2) \\[0.8em] 16 &= x^{4} & &| \; \sqrt[4]{\quad} \\[0.8em] \pm 2 &= x_{1,2} \end{align*}\]
An den Stellen \(x_{1} = -2\) und \(x_{2} = 2\) besitzen die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) die gleiche Steigung.
Überprüfen, ob \(f(x_{1}) = g(x_{1})\) bzw. \(f(x_{2}) = g(x_{2})\) gilt:
\[f(x) = \frac{4}{x^{2}}\]
\[g(x) = -\frac{1}{4}x^{2} + 2\]
\[f(x_{1}) = f(-2) = \frac{4}{(-2)^{2}} = 1\]
\[g(x_{1}) = g(-2) = -\frac{1}{4} \cdot (-2)^{2} + 2 = 1\]
\[\Longrightarrow \quad f(x_{1}) = g(x_{1})\]
\[f(x_{2}) = f(2) = \frac{4}{2^{2}} = 1\]
\[g(x_{2}) = g(2) = -\frac{1}{4} \cdot 2^{2} + 2 = 1\]
\[\Longrightarrow \quad f(x_{2}) = g(x_{2})\]
Schlussfolgerung:
Die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) der Funktionen \(f\) und \(g\) berühren sich in den Punkten \((-2|1)\) und \((2|1)\).
Die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) der Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{4}{x^{2}}\) und \(g \colon x \mapsto -\dfrac{1}{4}x^{2} + 2\) besitzen in den Berührpunkten \((-2|1)\) und \((2|1)\) jeweils eine gemeinsame Tangente \(T\).
