Teilaufgabe 1a

Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind (vgl. Abbildung).

Abbildung zu Teilaufgabe 1 Stichhaltig 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015

Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte 4, 10 oder 25 annehmen. Die zahl 5 wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) erzielt.

Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht.

Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von 10 % erhält.

(Ergebnis: \(2p - 2p^2\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen

 

Zufallsgröße \(X\): „Höhe des Rabatts in Prozent"

 

Die Zahl 5 wird mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) erzielt. Das Glücksrad ist nur in zwei Sektoren aufgeteilt, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind. Die Summe der Wahrscheinlichkeit, die Zahl 5 zu erzielen und der Wahrscheinlichkeit, die Zahl 2 zu erzielen ist gleich eins (Knotenregel). Folglich wird die Zahl 2 mit der Wahrscheinlichkeit \(1 - p\) erzielt.

\[\begin{align*} P(5) + P(2) &= 1 & &| - P(5) \\[0.8em] P(2) &= 1 - P(5) \\[0.8em] &= 1 - p \end{align*}\]

 

Baumdiagramm:

Baumdiagramm für zweimaliges Drehen des Glücksrads (zweistufiges Zufallsexperiment) mit Elementarereignissen und Werten der Zufallsgröße X

Baumdiagramm für zweimaliges Drehen des Glücksrads (zweistufiges Zufallsexperiment) mit Elementarereignissen \(\omega_{i}\) und Werten \(x_{i}\) der Zufallsgröße \(X\)

 

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Höhe des Rabatts in Prozent. Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde beim zweimaligen Drehen am Glücksrad erzielt (siehe Angabe).

Die Zufallsgröße \(X\) nimmt den Wert 10 an, wenn beim Drehen des Glücksrads einmal die Zahl 5 und einmal die Zahl 2 erzielt wird, also wenn die Ereignisse \(\{(5;2),(2;5)\}\) eintreten.

 

Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von 10 % erhält, mithilfe der 2. Pfadregel ermitteln:

\[\begin{align*} P(X = 10) &= P(5;2) + P(2;5) \\[0.8em] &= p \cdot (1 - p) + (1 - p) \cdot p \\[0.8em] &= p - p^{2} + p - p^{2} \\[0.8em] &= 2p - 2p^{2}\end{align*}\]

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