Mathematik Abitur Bayern 2017 A Analysis 1 - Aufgaben mit Lösungen
Teilaufgabe 1a
Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{4 + x} - 1\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{g}\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.
Geben Sie \(D_{g}\) und die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{g}\) mit der \(y\)-Achse an.
(2 BE)
Teilaufgabe 1b
Beschreiben Sie, wie \(G_{g}\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R^{+}_{0}\) definierten Funktion \(w \colon x \mapsto \sqrt{x}\) hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von \(g\) an.
(4 BE)
Teilaufgabe 2a
Eine Funktion \(f\) ist durch \(f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.
Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \(f\).
(2 BE)
Teilaufgabe 2b
Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0|1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
Teilaufgabe 3a
Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.
Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist eine senkrechte Asymptote.
(2 BE)
Teilaufgabe 3b
Die Funktion \(g\) ist nicht konstant und es gilt \(\displaystyle \int_{0}^{2} g(x) dx = 0\).
(2 BE)
Teilaufgabe 4a
An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt \(t\) (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung \(n(t) = 3t^{2} - 60t + 500\) beschrieben werden.
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.
(3 BE)
Teilaufgabe 4b
Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft \(-30\frac{\textsf{1}}{\textsf{h}}\) beträgt.
(2 BE)
