Teilaufgabe 1b

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %." auf der Grundlage einer Stichprobe von 200 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

Bestimmen sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Die Entscheidungsregel wird mithilfe eines Signifikanztests ermittelt. Ein Signifikanztest gibt der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (Nullhypothese wird irrtümlich abgelehnt) eine Obergrenze vor (Signifikanzniveau). Unter dieser Bedingung können die Grenzen, die den Annahmebereich vom Ablehnungsbereich der Nullhypothese trennen, mithilfe des Stochastischen Tafelwerks bestimmt werden.

1. Nullhypothese benennen

In diesem Fall gibt die Aufgabenstellung die Nullhypothese vor.

„... soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %."

\(\Longrightarrow \quad H_{0} \colon p \geq 0{,}04\)

 

2. Zufallsgröße (Testgröße) einführen

Bei einem Stichprobenumfang von 200 zufällig ausgewählten Kunststoffeilen wird auf das Ereignis „Teil ist fehlerhaft" geachtet. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gemäß der Nullhypothese mit \(p_{0} = 0{,}04\) konstant (vgl. Anmerkung 2).

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der fehlerhaften Kunststoffteile der Stichprobe beschreibt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(200;0{,}04)\) binomialverteilt.

2. Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese vorformulieren

Der Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese lässt sich durch die Vergabe zunächst noch unbekannter Grenzen \(k\) und \(k + 1\) vorformulieren. Zusammen bilden beide Bereiche alle Werte \(x_{i} \in \{0,1, \dots, 200\}\) ab, welche die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann.

Die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %." \((H_{0} \colon p \geq 0{,}04)\) wird abgelehnt, wenn unter den 200 zufällig entnommenen Kunststoffteilen tendenziell wenige Teile fehlerhaft sind.

 

\[ \textcolor{#cc071e}{\overline{A} = \{0, 1, \dots, k\}} \qquad A = \{k + 1, \dots, 200\}\]

 

3. Bedingung für den Signifikanztest aufstellen

Bedingung: Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens so groß sein wie das vorgegebene Signifikanzniveau \(\textcolor{#0087c1}{\alpha}\).

„... auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden."

\(\Longrightarrow \quad \textcolor{#0087c1}{\alpha = 0{,}05}\)

Fehler 1. Art: Die Nullhypothese trifft zu, wird aber irrtümlich abgelehnt.

\[\begin{align*}P(\text{Fehler 1. Art}) &\textcolor{#0087c1}{\leq \alpha} \\[0.8em] P_{\textcolor{#e9b509}{p_{0}}}^{n}(X \in \textcolor{#cc071e}{\overline{A}}) &\textcolor{#0087c1}{\leq \alpha} & &| \; \textcolor{#cc071e}{\overline{A} = \{0, 1, \dots, k\}} \\[0.8em] P_{\textcolor{#e9b509}{0{,}04}}^{200}(X \textcolor{#cc071e}{\leq k}) &\textcolor{#0087c1}{\leq 0{,}05} \end{align*}\]

 

(vgl. Anmerkung 1)

 

4. Entscheidungsregel formulieren

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) lassen sich die Grenzen \(k\) und \(k + 1\) des Ablehnungs- bzw. Annahmebereich der Nullhypothese ermitteln.

Für den Parameter \(p = 0{,}04\) sucht man in der rechten Spalte (kumulative Verteilungsfunktion) der Tabelle \(n = 200\) denjenigen Wert \(P_{0{,}04}^{200}(X \leq k) = \sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(200;0{,}04;i)\), der höchstens \(0{,}05\) beträgt und notiert den zugehörigen Wert \(k\).

 

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 3 \quad \left(P_{0{,}04}^{200}(X \leq 3) = \sum \limits_{i\,=\,0}^{3}B(200;0{,}04;i) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}03953 \right)\]

 

Mit \(k = 3\) und \(k + 1 = 4\) kann der Annahme- und der Ablehnungsbereich der Nullhypothese konkretisiert werden.

 

\[\overline{A} = \{0, 1, 2, 3\} \qquad A = \{4, \dots, 200\}\]

 

(vgl. Anmerkung 3)

 

Die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %." wird angenommen, wenn unter den 200 zufällig entnommenen Kunststoffteilen mindestens 4 fehlerhafte Teile sind.

oder

Die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %." wird abgelehnt, wenn unter den 200 zufällig entnommenen Kunststoffteilen höchstens 3 fehlerhafte Teile sind.

 

Anmerkung 1:

Da der Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{0, 1, \dots, k\}\)  „links" der Werte \(x_{i} \in \{0,1, \dots, 200\}\) liegt, welche die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann, handelt es sich um einen linksseitigen Signifikanztest.

Für die Bearbeitung einer Aufgabe zum Thema Signifikanztest ist die Unterscheidung nach linksseitigem und rechtsseitigem Signifikanztest nicht zwingend erforderlich. Es sei denn, die Aufgabenstellung verlangt dies ausdrücklich. Entscheidend ist die Festlegung der Nullhypothese und des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese. Wie die Nullhypothese lautet, ergibt sich aus der Aufgabenstellung. Die Art der Nullhypothese lässt auf den Ablehnungsbereich der Nullhypothese schließen.

 

Anmerkung 2:

Bei einem Signifikanztest betrachtet man im Falle einer Nullhypothese \(H_{0} \colon p \leq p_{0}\) oder \(H_{0} \colon p \geq p_{0}\) den „Extremfall" \(p = p_{0}\), um den Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese zu bestimmen. Damit ist gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art auch für \(p < p_{0}\) bzw. \(p > p_{0}\) nicht das Signifikanzniveau \(\alpha\) überschreitet.

Im Falle der Nullhypothese \(H_{0} \colon p \geq 0{,}04\) genügt es also, den „Extremfall" \(p_{0} = 0{,}04\) zu betrachten.

 

Anmerkung 3:

Mit dem Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{0, 1, 2, 3\}\) liegt die maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art \(P_{0{,}04}^{200}(X \leq 3) \approx 0{,}03953\) unter dem vorgegebenen Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\).

 

Linksseitiger Signifikanztest der Nullhypothese H₀: p ≥ 0,04 zum Signifikanzniveau α = 5 % bei einem Stichprobenumfang von n = 200 (verkürzte Darstellung bis k = 20)

Linksseitiger Signifikanztest der Nullhypothese \(H_{0} \colon p \geq 0{,}04\) zum Signifikanzniveau \(\alpha = 5\,\%\) bei einem Stichprobenumfang von \(n = 200\) (verkürzte Darstellung bis \(k = 20\))

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