Teilaufgabe 3a

Beim Torwandschießen treten zwei Schützen gegeneinander an. Zunächst gibt der eine sechs Schüsse ab, anschließend der andere. Wer dabei mehr Treffer erzielt, hat gewonnen; andernfalls geht das Torwandschießen unentschieden aus.

Joe trifft beim Torwandschießen bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 %, Hans mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 %.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Joe beim Torwandschießen gegen Hans gewinnt, wenn Hans bei seinen sechs Schüssen genau zwei Treffer erzielt hat. Erläutern Sie anhand einer konkreten Spielsituation, dass das dieser Aufgabe zugrunde gelegte mathematische Modell im Allgemeinen nicht der Realität entspricht.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

Wahrscheinlichkeit, dass Joe beim Torwandschießen gegen Hans gewinnt

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

 

\[\begin{align*} P(\text{„Joe gewinnt"}) &= \sum_{I\,=\,3}^{6}B(6;0{,}2;i) \\[0.8em] &= 1 - \sum_{I = 0}^{2}B(6;0{,}2;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}90112 \\[0.8em] &= 0{,}09888 \approx 9{,}9\,\% \end{align*}\]

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Die Aufgabenstellung nennt für das Torschießen konstante Trefferwahrscheinlichkeiten (Joe: 20 %, Hans: 30 %, vgl. Angabe). Da bei jedem der sechs Schüsse eins Schützen nur zwischen „Treffer" und „Nicht-Treffer" unterschieden wird, stellt das Torschießen eines Schützen eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 6\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}2\) (Joe) bzw. \(p = 0{,}3\) (Hans) dar.

Nachdem Hans genau zwei Treffer erzielt hat, gewinnt Joe das Torwandschießen, wenn er mindestens drei Treffer erzielt.

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche beim Torwandschießen die Anzahl der Treffer von Joe beschreibt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(6;0{,}2)\) binomialverteilt.

 

\[\begin{align*}P(\text{„Joe gewinnt"}) &= P_{0{,}2}^{6}(X \geq 3) \\[0.8em] &= \sum_{I\,=\,3}^{6}B(6;0{,}2;i)\end{align*}\]

 

Das Ereignis „mindestens drei Treffer" entspricht dem Ereignis „nicht höchstens zwei Treffer". Damit kann die Wahrscheinlichkeitsberechnung auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückgeführt werden, was die Verwendung des Stochastischen Tafelwerks ermöglicht.

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

\[\begin{align*} P(\text{„Joe gewinnt"}) &= P_{0{,}2}^{6}(X \geq 3) &&| \; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] &= 1 - P_{0{,}2}^{6}(X \leq 2) \\[0.8em] &= 1 - \sum_{I\,=\, 0}^{2}B(6;0{,}2;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}90112 \\[0.8em] &= 0{,}09888 \approx 9{,}9\,\% \end{align*}\]

 

Erläuterung, weshalb das mathematische Modell im Allgemeinen nicht der Realität entspricht

Die Aufgabe legt dem Torwandschießen das mathematische Modell einer Bernoullikette mit jeweils konstanten Trefferwahrscheinlichkeiten der Torschützen Joe und Hans zugrunde.

Dass dies im Allgemeinen nicht der Realität entspricht, soll beispielsweise folgende konkrete Spielsituation verdeutlichen:

Joe tritt nach Hans beim Torschießen an. Er weiß, um zu gewinnen, muss er mindestens drei Treffer von sechs Schüssen erzielen. Die ersten beiden Schüsse gehen daneben. Joe wird nervös und verfehlt auch beim dritten Schuss. Die nächsten drei Schüsse müssen sitzen... Joe wird immer nervöser, worunter seine Treffsicherheit leidet. Die Annahme einer konstanten Trefferwahrscheinlichkeit ist nicht mehr gegeben.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b Teilaufgabe 3b »