Mathematik Abitur Bayern 2014 B Analysis 2 - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).

Abbildung zu Teilaufgabe 1a

Zeigen Sie, dass \(D_f = \mathbb R \, \backslash \, \{-5;5\}\) gilt und dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an.

(5 BE)

Teilaufgabe 1b

Weisen Sie nach, dass die Steigung von \(G_f\) in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_f\) die \(x\)-Achse schneidet.

(4 BE)

Teilaufgabe 1d

Die Funktion \(f^* \colon\mapsto f(x)\) mit Definitionsbereich \(]5;+\infty[\) unterscheidet sich von der Funktion \(f\) nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) nicht umkehrbar ist, die Funktion \(f^*\) dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von \(f^*\) in die Abbildung ein.

(4 BE)

Teilaufgabe 1e

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen \(x = 10\) und \(x = s\) mit \(s > 10\) schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(s)\) ein. Bestimmen Sie \(A(s)\).

(Ergebnis: \(\displaystyle A(s) = 10 \cdot \ln{\frac{s^2 - 25}{75}}\))

(5 BE)

Teilaufgabe 1f

Ermitteln Sie \(s\) so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt 100 besitzt.

(3 BE)

Teilaufgabe 2a

Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Strecke der Länge 10 km zuerst flussaufwärts und unmittelbar anschließend flussabwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des Motorboots wird der Betrag der Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich das Boot bei dieser Motorleistung auf einem stehenden Gewässer bewegen würde.

Im Folgenden soll modellhaft davon ausgegangen werden, dass die Eigengeschwindigkeit des Boots während der Fahrt konstant ist und das Wasser im Fluss mit der konstanten Geschwindigkeit 5 \(\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\) fließt. Die für das Wendemanöver erforderliche Zeit wird vernachlässigt.

Die Gesamtfahrzeit in Stunden, die das Boot für Hinfahrt und Rückfahrt insgesamt benötigt, wird im Modell für \(x > 5\) durch den Term \(\displaystyle t(x) = \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5}\) angegeben. Dabei ist \(x\) die Eigengeschwindigkeit des Boots in \(\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\).

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von 10 \(\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\) und für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von 20 \(\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\) jeweils die Gesamtfahrzeit in Minuten.

(2 BE)

Teilaufgabe 2b

Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms \(t(x)\) die für die Hinfahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden angibt.

(3 BE)

Teilaufgabe 2c

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass \(t(x)\) für \(0 < x < 5\) nicht als Gesamtfahrzeit interpretiert werden kann.

(2 BE)

Teilaufgabe 2d

Zeigen Sie, dass die Terme \(f(x)\) und \(t(x)\) äquivalent sind.

(2 BE)

Teilaufgabe 2e

Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Boots näherungsweise ermitteln kann. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrzeit von vier Stunden.

(5 BE)