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Extremstellen einer Funktionenschar

  • Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_k \colon x \mapsto 3x \cdot e^{kx}\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\). Der Graph jeder Funktion \(g_k\) der Schar hat genau einen Extrempunkt \(E_k\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G\) einer Funktion dieser Schar.

    Abbildung 2 Aufgabe B1 Aufgabengruppe 2 (Wahlteil) Prüfungsteil A Mathematik Beispiel-Abiturprüfung Bayern 2026Abb. 2

    Alle Extrempunkte \(E_k\) liegen auf der Gerade \(h\). Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung von \(h\).

    (5 BE)

  • Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^4 - kx^2\), wobei \(k\) eine positive reelle Zahl ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\).

    1. Zeigen Sie, dass \(f'(x) = 2x \cdot \left( 2x^2-k \right)\) ein Term der ersten Ableitungsfunktion von \(f\) ist.
      (1 BE)
    2. Die beiden Tiefpunkte des Graphen von \(f\) haben jeweils die \(y\)-Koordinate \(-1\). Ermitteln Sie den Wert von \(k\).
      (4 BE)

    Abbildung Aufgabe A2 Aufgabengruppe 1 (Pflichtteil) Prüfungsteil A Mathematik Beispiel-Abiturprüfung Bayern 2026

  • Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

    I   Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

    II  Der Graph hat keine Extrempunkte.

    Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

    Abbildung 2 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 2

    Abbildung 3 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 3

    Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein.

    Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

    (3 BE)

  • Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) handelt.

    (3 BE)

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Mathematik Abiturvorbereitung Bayern

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