gleichseitiges Dreieck

Jede Ebene, die parallel zu \(M\) verläuft, wird durch eine Gleichung der Form \(x_1 - x_2 + x_3 = p\) mit \(p \in \mathbb R\) beschrieben. Nennen Sie die Arten der Figuren, in denen eine solche Ebene den Würfel schneiden kann, und geben Sie die Menge aller Werte von \(p\) an, für die die Schnittfigur ein Sechseck ist.

(4 BE)

Die Abbildung zeigt einen Würfel der Kantenlänge 6. Die Koordinaten der Eckpunkte \(A\,(0|0|0)\), \(D\,(0|6|0)\) und \(G\,(6|6|6)\) sind gegeben.

Die Punkte \(B\), \(E\) und \(G\) liegen in einer Ebene \(L\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. Zeichnen Sie die Figur, in der die Ebene \(L\) den Würfel schneidet, in die Abbildung ein.

(mögliches Ergebnis: \(L\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 6\))

(5 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A\,(4|0|0)\), \(B\,(0|4|0)\) und \(C\,(0|0|4)\) das Dreieck \(ABC\) fest, das in der Ebene \(E\,\colon \, x_1 + x_2 + x_3 = 4\) liegt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\).

(3 BE)