Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(a \, \colon x \mapsto \left( e^x - 2 \right) \cdot \left( x^3 - 2x \right)\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\).

(3 BE)

Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\).

(2 BE)

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_{n} \colon x \mapsto x^4 - 2x^n\) mit \(n \in \mathbb N\) sowie die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f_{0} \colon x \mapsto x^4 - 2\).

Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen \(f_{0}\), \(f_{1}\), \(f_{2}\) bzw. \(f_{4}\). Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen.

(4 BE)

Bestimmen Sie nun mithilfe des Graphen von \(\boldsymbol{F}\) aus Aufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).

Beschreiben Sie unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von \(a\) rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von 1,50 m der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt 6 m² hat.

(5 BE) 

Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms von \(f\), dass es keine weitere solchen Zeitpunkte gibt.

(3 BE)