Teilaufgabe 1c

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\).

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Flächeninhalte A₁ und A₂, welche der Graph der Funktion f im Intervall [-1;4] mit der x-Achse einschließt.

Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\) entspricht der Flächenbilanz der Inhalte der Flächen, die \(G_{f}\) im Intervall \([-1;4]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

Da \(G_{f}\) im Bereich \(\textcolor{#0087c1}{-1 \leq x \leq 1}\) oberhalb und im Bereich \(\textcolor{#cc071e}{1 \leq x \leq 4}\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, trägt der Flächeninhalt \(\textcolor{#0087c1}{A_{1}}\) positiv und der Flächeninhalt \(\textcolor{#cc071e}{A_{2}}\) negativ zur Flächenbilanz bei.

Durch „Kästchen zählen" ergibt sich näherungsweise:

 

\[\begin{align*}\int_{-1}^{4}f(x)dx &= \textcolor{#0087c1}{A_{1}} - \textcolor{#cc071e}{A_{2}} \\[0.8em] &\approx \textcolor{#0087c1}{6 \cdot 0{,}25} - \textcolor{#cc071e}{4 \cdot 0{,}25}\\[0.8em] &= 2 \cdot 0{,}25 \\[0.8em] &= 0{,}5\end{align*}\]

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