Teilaufgabe 1g

Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(F_{0}\) mit \(F_{0}(x) = \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) und \(x \in \mathbb R\).

Begründen Sie, dass \(F_{0}\) mit der betrachteten Stammfunktion \(F\) von \(f\) übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert \(F_{0}(2) \approx 0{,}234\) mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1g

 

Nullstelle bzw. integralfreie Darstellung einer Integralfunktion, geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals

 

Begründung, dass \(F_{0}\) mit der Stammfunktion \(F\) von \(f\) übereinstimmt

 

\[F_{0}(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt; \; D_{F_{0}} = \mathbb R\]

\(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c)

 

Es ist nachzuweisen, dass \(F_{0}(x) = F(x)\) gilt.

 

1. Lösungsansatz: HDI, Nullstelle einer Integralfunktion

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) ist die Integralfunktion \(\displaystyle F_{0}(x) = \int_{0} ^{x} f(t) dt\) eine Stammfunktion von \(f\).

Zudem besitzt die Integralfunktion \(\displaystyle F_{0}(x) = \int_{0} ^{x} f(t) dt\) an der unteren Integrationsgrenze, das heißt für \(x = 0\), eine Nullstelle.

\[F_{0}(0) =\int_{0}^{0} f(t) dt = 0\]

 

In Teilaufgabe 1e wurde der Funktionswert \(F(0) = 0\) berechnet.

Folglich stimmt die Integralfunktion \(F_{0}\) mit der Stammfunktion \(F\) von \(f\) (vgl. Teilaufgabe 1c) überein und es gilt: \(F_{0}(x) = F(x)\).

 

2. Lösungsansatz: Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion

Aus Teilaufgabe 1e ist bekannt:

 

\[F(0) = 0\]

 

Damit ergibt sich:

\[F_{0}(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = F(x) - F(0) = F(x) - 0 = F(x)\]

 

Die integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(\displaystyle F_{0}(x) = \int_{0} ^{x} f(t) dt\) gelingt auch ohne Berücksichtigung des Ergebnisses \(F(0) = 0\) aus Teilaufgabe 1e, ist allerdings deutlich aufwendiger.

\[F_{0}(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt; \; D_{F_{0}} = \mathbb R\]

\(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c)

\(f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right); \; D_{f} = \mathbb R\) (vgl. Angabe Aufgabe 1)

 

\[\begin{align*}F_{0}(x) &= \int_{0}^{x} f(t) dt \\[0.8em] &= \int_{0}^{x} 2e^{-t} \cdot \left( 2e^{-t} - 1\right) dt \\[0.8em] &= \int_{0}^{x} \left( 4e^{-2t} - 2e^{-t} \right)dt \\[0.8em] &= 4 \cdot \int_{0}^{x} e^{-2t} dt - 2 \cdot \int_{0}^{x} e^{-t} dt \end{align*}\]

 

Mithilfe der unbestimmten Integrale \(\displaystyle \int e^{x} dx = e^{x} + C\) und \(\displaystyle \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C \) lässt sich jeweils eine Stammfunktion der Integrandenfunktionen bilden.

\[\int \underbrace{e^{-2t}}_{\large{f(ax\,+\,b)}} dt = \underbrace{\frac{1}{-2}}_{\large{\frac{1}{a}}} \cdot \underbrace{e^{-2t}}_{\large{F(ax\,+\,b)}} = -\frac{1}{2}e^{-2t} + C\]

\[\int \underbrace{e^{-t}}_{\large{f(ax\,+\,b)}} dt = \underbrace{\frac{1}{-1}}_{\large{\frac{1}{a}}} \cdot \underbrace{e^{-t}}_{\large{F(ax\,+\,b)}} = -e^{-t} + C\]

 

Damit ergibt sich:

 

\[\begin{align*} F_{0}(x) &= 4 \cdot \left[-\frac{1}{2}e^{-2t}\right]_{0}^{x} - 2 \cdot \left[-e^{-t}\right]_{0}^{x} \\[0.8em] &= -2 \cdot \left[ e^{-2t} \right]_{0}^{x} + 2 \cdot \left[e^{-t}\right]_{0}^{x} \\[0.8em] &= -2 \cdot \left( e^{-2x} - e^{-2 \cdot 0} \right) + 2 \cdot \left( e^{-x} - e^{0} \right) \\[0.8em] &= -2e^{-2x} + 2 + 2e^{-x} - 2 \\[0.8em] &= 2e^{-x} - 2e^{-2x} \\[0.8em] &= F(x) \end{align*}\]

 

Geometrische Interpretation des Werts \(F_{0}(2) \approx 0{,}234\) mithilfe von Abbildung 1

 

\[F_{0}(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt; \; D_{F_{0}} = \mathbb R\]

 

\[F_{0}(2) = \int_{0}^{2} f(t) dt = 0{,}234\]

 

Flächeninhalte, die der Graph der Funktion \(f\) im Intervall [0;2] mit der x-Achse einschließt

Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle F_{0}(2) = \int_{0}^{2} f(t) dt = 0{,}234\) entspricht der Flächenbilanz der Flächenstücke, die der Graph der Funktion \(f\) im Intervall \([0;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Dabei geht das im Intervall \([0;\ln{2}]\) oberhalb der \(x\)-Achse liegende Flächenstück (vgl. Teilaufgabe 1f) positiv und das im Intervall \([\ln{2};2]\) unterhalb der \(x\)-Achse liegende Flächenstück negativ in die Flächenbilanz ein.

Das Flächenstück im Intervall \([0;\ln{2}]\) hat einen Flächeninhalt von ca. 2 Kästchen, also \(2 \cdot 0{,}25\;\sf{FE} = 0{,}5\;\sf{FE}\) (Flächeneinheiten).

Das Flächenstück im Intervall \([\ln{2};2]\) hat einen Flächeninhalt von ca. einem Kästchen, also \(0{,}25\;\sf{FE}\).

Somit ergibt sich die Flächenbilanz zu:

 

\[0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25 \approx 0{,}234 \approx F_{0}(2)\]

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