maximale Definitionsmenge / maximaler Definitionsbereich

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{e^x}{e^x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Bestimmen Sie \(D\) und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an.

(3 BE) 

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle b\,\colon x \mapsto \frac{\ln x}{x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\).

(6 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{\ln{x}}{x^{2}}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an und bestimmen Sie \(\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x)\).

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{4 + x} - 1\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{g}\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

Geben Sie \(D_{g}\) und die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{g}\) mit der \(y\)-Achse an.

(2 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.

Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist eine senkrechte Asymptote.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\) und maximalem Definitionsbereich \(D\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Geben Sie \(D\) und die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen an.

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{1 - \ln{x}}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\).

Bestimmen Sie \(D\).

(2 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

Die Funktion \(g\) hat die maximale Definitionsmenge \(]-\infty;5[\). 

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \ln(2x + 3)\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und Wertemenge \(W\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

Geben Sie \(D\) und \(W\) an.

(2 BE)

Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(b\), sodass die Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x^2 - b}\) den maximalen Definitionsbereich \(\mathbb R \,\backslash\; ]-2;2[\) besitzt.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln x)\) mit maximalem Definitionsbereich D.

Geben Sie D an.

(1 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).

Zeigen Sie, dass \(D_f = \mathbb R \, \backslash \, \{-5;5\}\) gilt und dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an.

(5 BE)

Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) und geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f'\) an.

Bestimmen Sie  \(\lim \limits_{x \, \to \, 6} f'(x)\) und beschreiben Sie, welche Eigenschaft von \(G_f\) aus diesem Ergebnis folgt.

(zur Kontrolle: \(\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{12 - 2x}}\))

(5 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\,\colon x \mapsto 2 - \sqrt{12-2x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f = \; ]-\infty;6]\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und geben Sie \(f(6)\) an.

(5 BE)

Geben Sie einen Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h\) an, sodass der Term \(\sqrt{h(x)}\) genau für \(x \in [-2;4]\) definiert ist. Erläutern Sie die Ihrer Angabe zugrunde liegenden Überlegungen.

(3 BE)

Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion an.

\[f(x)= \ln(x + 3)\]

(2 BE)

Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion an.

\[g(x)= \frac{3}{x^2 - 1}\]

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\) sowie die Nullstelle vom \(f\,\).

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 3}\) mit Definitionsmenge \(D_f\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), einen beliebigen Punkt \(Q(x|f(x))\) auf \(G_f\) sowie den Punkt \(P(1{,}5|0)\) auf der \(x\)-Achse.

Abb. 1

Begründen Sie, dass \(D_f = [-3;+\infty[\) die maximale Definitionsmenge von \(f\) ist. Wie geht \(G_f\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R_0^+\) definierten Funktion \(w : x \mapsto \sqrt{x\;}\;\) hervor?

(2 BE)

Betrachtet wird nun die Funktion \(h\) mit \(h(x) = \ln(g(x))\). Geben Sie mithilfe des Verlaufs von \(G_g\) die maximale Definitionsmenge \(D_h\) von \(h\), das Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\) sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von \(h\) an.

(5 BE)