Geometrie 1

Gegeben ist die Ebene \(E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5\).

Beschreiben Sie die besondere Lage von \(E\) im Koordinatensystem.

(1 BE)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt \(Z\,(1|6|3)\) und Radius 7 die Ebene \(E\) schneidet.

(4 BE)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden \(h_a \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(\mu \in \mathbb R\) und \(a \in \mathbb R\). Weisen Sie nach, dass \(g\) und \(h_a\) für jeden Wert von \(a\) windschief sind.

(3 BE) 

Berechnen Sie das Volumen \(V\) der Pyramide \(ABCDS\).

(zur Kontrolle: \(V = 72\))

(2 BE)

Begründen Sie rechnerisch, dass die Skifahrerin das Tor tatsächlich durchquert.

(4 BE)

Das Lot zur Ebene \(E\) im Punkt \(R\) wird als Einfallslot bezeichnet.

Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene \(F\) liegt.

(mögliches Teilergebnis: \(F\,\colon\, x_1 - x_2 = 0\)) 

(5 BE)

Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels \(\beta\) zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels \(\alpha\) zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt.

(4 BE)

Spiegelt man die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) am Symmetriezentrum \(Z(3|3|3)\), so erhält man die Punkte \(A'\), \(B'\) bzw. \(C'\).

Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke \([CC']\) senkrecht auf dieser Ebene steht.

(3 BE)

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(E\,(1|2|5)\) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten.

Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

(2 BE)

Betrachtet wird die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A\,(0|0|0)\), \(B\,(4|4|2)\), \(C\,(8|0|2)\), \(D\,(4|-4|0)\) und \(S\,(1|1|-4)\). Die Grundfläche \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm \(ABCD\) ein Rechteck ist.

(2 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform sowie die Größe \(\varphi\) des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.

(zur Kontrolle: \(x_1+x_2+x_3-19= 0; \enspace \varphi \approx 55^{\circ}\))

(6 BE) 

Weisen Sie nach, dass der höchste Punkt des Brunnens ca. 64 cm über dem Erdboden liegt.

(2 BE)

Für jedes \(a \in \mathbb R^{+}\) liegt die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(U\) mit der Gleichung \(x_{1} = 2{,}5\).

Ein beliebiger Punkt \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) des Raums wird an der Ebene \(U\) gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts \(P'\) in Abhängigkeit von \(p_{1}\), \(p_{2}\) und \(p_{3}\) an.

(2 BE)

An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene \(E\) verläuft und den Mittelpunkt \(M \left( 0|3\sqrt{2}|2 \right)\) hat.

Das Lot von \(M\) auf \(g\) schneidet \(g\) im Punkt \(B\). Im Modell stellt \(B\) den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\) und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.

(Teilergebnis: \(B\left( -1|2\sqrt{2}|3 \right)\)) 

(5 BE)

Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt \(C\) beschrieben. Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts \(C\) gilt: \(\overrightarrow{C} = \overrightarrow{M} + \overrightarrow{v}\).

(2 BE)

Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke \([AB]\) und den Viertelkreis von \(B\) nach \(C\) dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 15 \(\sf{\frac{m}{s}}\). Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem 10 m in der Realität entspricht. 

(4 BE)

Durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft die Gerade \(g\).

Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

I  Jede dieser Geraden schneidet die Gerade \(g\) orhogonal.

II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt \(A\) beträgt 3.

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte \(A(-2|1|4)\) und \(B(-4|0|6)\)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(C\) so, dass gilt: \(\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}\).

(2 BE)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Meeresboden gegenüber der Wasseroberfläche abfällt.

(3 BE)

Begründen Sie, dass die Größe des Schnittwinkels von \(g_k\) und der \(x_1x_2\)-Ebene weniger als 30° beträgt, wenn \(2k^2 > 1\) gilt.

(5 BE)