Tangentensteigung

Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).

(6 BE)

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abb. 2

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Abb. 3

(3 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((8|g(8))\).

(4 BE)

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abb. 2

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Abb. 3

(3 BE)

Betrachtet werden eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(p\) und der Punkt \(Q(2|p(2))\).

Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(p\) im Punkt \(Q\) ermitteln kann.

(2 BE)

Bestimmen Sie den Funktionswert von \(f\) an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1.

(3 BE)

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.

(5 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse.

(4 BE)

Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion \(V\) näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn.

(3 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto 3x \cdot (-1 + \ln x)\).

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{h}\) von \(h\) im Bereich \(0{,}75 \leq x \leq 4\).

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{h}\) im Punkt \((e|0)\) und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet.

(zur Kontrolle: \(h'(x) = 3 \cdot \ln x\))

(4 BE)

Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0|1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(3 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist.

(4 BE)

Geben Sie die Nullstelle von \(H_{0}\) an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte \(H_{0}(-0{,}5)\) sowie \(H_{0}(3)\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von \(H_{0}\) im Bereich \(-0{,}5 \leq x \leq 3\).

(6 BE)

Der Punkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\) ist einer der beiden Wendepunkte von \(G_f\). Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) wird mit \(w\) bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w\) und berechnen Sie die Stelle, an der \(w\) die \(x\)-Achse schneidet.

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\frac{1}{2}x \cdot e^{-\frac{1}{8}x^2}\,\))

(5 BE) 

Zeigen Sie, dass der Graph von \(g\) in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.

(3 BE)

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{k}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(k'\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen \(G_{k}\) an dessen Wendepunkt \((0|-3)\) sowie die Nullstelle von \(k'\).

Abb. 2

(4 BE)

Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\).

(3 BE)

Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE) 

Berechnen Sie die Steigung der Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P(2|f(2))\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt \(P\) und die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(-4 \leq x \leq 4\), \(-1 \leq y \leq 9\)).

(3 BE)

Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu \(M\) minimal ist. Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinaten der Punkte \(P_{x}\), für die \(d(x)\) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.

(5 BE)