Abiturlösungen Mathematik Bayern 2025 Prüfungsteil B Analysis 1

Badminton wird auf einem rechteckigen Spielfeld gespielt, das 13,40 m lang ist. Dabei wird ein Federball über ein 1,55 m hohes Netzt geschlagen (vgl. Abbildung).

Im Folgenden werden Flugbahnen von Federbällen, die von Hälfte A in Hälfte B des Spielfelds geschlagen werden, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben. Vereinfachend werden nur Flugbahnen betrachtet, die innerhalb einer Ebene verlaufen, die senkrecht zum horizontalen Boden und parallel zur Seitenlinie des Spielfelds ist. Das im Modell verwendete Koordinatensystem liegt in dieser Ebene, wobei die \(x\)-Achse den Boden und der Punkt \(N(0|1{,}55)\) die horizontal verlaufende Oberkante des Netzes beschreibt. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die in \(]-\infty;6]\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}25 \cdot (x+6) \cdot \sqrt{6-x}\) beschreibt für \(-5 \leq x \leq 6\) die Flugbahn bei einem bestimmten Schlag.

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Begründen Sie, dass der Federball bei diesem Schlag innerhalb von Hälfte B auf dem Boden auftrifft, wenn die Flugbahn nicht unterbrochen wird. Ein Spieler steht 3 m hinter dem Netz in Hälfte B unterhalb der Flugbahn des Federballs. Berechnen Sie die Höhe des Federballs über dem Boden an dieser Stelle.

(4 BE)

Weisen Sie nach, dass \(\dfrac{6-3x}{8 \cdot \sqrt{6-x}}\) ein Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) ist. Ermitteln Sie \(\lim \limits_{x\, \to\, 6}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(6 BE)

Im Verlauf des Flugs erreicht der Federball eine maximale Höhe. Berechnen Sie diese.

(2 BE)

Bei einem anderen Schlag wird die Flugbahn des Federballs für \(-0{,}25 \leq x \leq 1\) mithilfe der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto -2x + 2\) beschrieben.

Zeigen Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, dass die Entfernung eines beliebigen Punkts \(Q(x|g(x))\) auf dem Graphen von \(g\) zum Punkt \(N(0|1{,}55)\) durch den Term \(d(x) = \sqrt{5x^2-1{,}8x +0{,}2025}\) beschrieben werden kann.

(5 BE)

Auf dieser Flugbahn gibt es einen Punkt mit minimalem Abstand zur oberen Netztkante. Berechnen Sie diesen minimalen Abstand.

(3 BE)

Im Folgenden werden Schläge betrachtet, bei denen die Flugbahn des Federballs jeweils mithilfe einer Funktion \(h \colon x \mapsto a \cdot \sqrt{b-x} + c\) mit maximalem Definitionsbereich und \(a, b, c \in \mathbb R\) beschrieben wird.

Ermitteln Sie für \(a = 2\), \(b = 5\) und \(c = -2\), in welcher Entfernung zur Netzebene und unter welchem Winkel der Federball auf dem Boden auftrifft.

(4 BE)

Ein Federball wird von einem Spieler in Hälfte A im Abstand von 1 m zur Netzebene in einer Höhe von 2,60 m geschlagen und trifft im Abstand von 3 m zur Netzebene in Hälfte B senkrecht zum Boden auf diesem auf. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von \(a\), \(b\) und \(c\).

(4 BE)