Mathematik Beispiel-Abitur Bayern 2026

Aufgrund der hohen Anschaffungskosten wurde für jedes vierte im Jahr 2020 verkaufte Pedelec eine Versicherung abgeschlossen. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Anzahl der Pedelecs unter den 200 zufällig ausgewählten Fahrrädern, für die eine Versicherung abgeschlossen wurde.

Berechnen Sie \(P(Y = 0)\).

(2 BE)

Im Jahr 2020 wurden in Deutschland rund fünf Millionen Fahrräder verkauft. Dabei waren 40 % der verkauften Fahrräder Pedelecs (unterstützende Elektrofahrräder). Unter allen im Jahr 2020 verkauften Fahrrädern werden 200 zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Pedelecs unter den 200 zufällig ausgewählten Fahrrädern.

Bestimmen Sie \(P(70 \leq X \leq 90)\) und beschreiben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Nach einer statistischen Erhebung eines Fahrradmagazins tritt auf einer 50 km langen, mit dem Fahrrad zurückgelegten Strecke mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,6 % eine Reifenpanne auf.

Ermitteln Sie auf 50 km genau, ab welcher mit dem Fahrrad zurückgelegten Gesamtstrecke unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Reifenpanne auftritt, mehr als 90 % beträgt.

(5 BE)

Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E} \cap H\) im Sachzusammenhang und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person einen Helm trug, wenn bekannt ist, dass sie mit einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs war.

(3 BE)

Bei einer Verkehrszählung zur Untersuchung des Sicherheitsbewusstseins im Straßenverkehr wurden 630 Radfahrer erfasst. Ein Drittel davon fuhr ein Fahrrad mit Elektromotor, 147 waren mit einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs und trugen keinen Helm. Insgesamt trugen 40 % der Radfahrer keinen Helm.

Aus den bei der Verkehrszählung erfassten Radfahrern wird eine Person zufällig ausgewählt.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(E\): „Die Person fuhr ein Fahrrad mit Elektromotor."

\(H\): „Die Person trug einen Helm."

Begründen Sie anhand der vorliegenden Daten, dass \(E\) und \(H\) stochastisch abhängig sind.

(3 BE)

Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion \(h\) im Intervall \([a;b]\) kann mithilfe der folgenden Überlegung bestimmt werden:

Bestimmen Sie für den betrachteten Zeitraum von acht Monaten die prozentuale Abweichung des Maximums der CO₂-Konzentration von der durchschnittlichen CO₂-Konzentration.

(6 BE)

Innerhalb eines Jahres schwankt die CO₂-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin{\big( \frac{\pi}{6}x \big)} + 406\) beschreiben. Dabei ist \(x\) die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und \(k(x)\) die CO₂-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.

Geben Sie an, wie der Graph von \(k\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s \colon x \mapsto \sin{(x)}\) hervorgeht. Beurteilen Sie, ob die Reihenfolge der einzelnen Schritte von Bedeutung ist.

(5 BE)

Berechnen Sie unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formulieren Sie das Ergebnis Ihres Vergleichs im Sachzusammenhang.

(3 BE)

In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO₂-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.

Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermitteln Sie die zugehörige Wachstumsrate in Prozent.

(zur Kontrolle: etwa 0,35 %)

(3 BE)

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

(3 BE)

Die Funktionen \(f\) und \(g_{-0{,}25}\), die für die Modelle \(A\) bzw. \(B\) verwendet werden, stimmen im Bereich \(0 \leq x \leq 10\) nur für \(x = 0\) in ihren Funktionswerten überein. Zur Entwicklung weiterer Modelle sind in \([0;10]\) definierte Funktionen gesucht, deren Funktionswerte für \(x > 0\) zwischen den Funktionswerten von \(f\) und \(g_{-0{,}25}\) liegen. Geben Sie für zwei verschiedene solche Funktionen jeweils einen Funktionsterm an.

(4 BE)

Begründen Sie, dass auf der Grundlage von Modell \(A\) die Masse in Kilogramm, um die ein Hund der betrachteten Rasse in den ersten 25 Monaten nach seiner Geburt insgesamt zunimmt, mit dem Term \(\displaystyle \int_0^{10}f(x)dx + 13{,}5\) berechnet werden kann.

(3 BE)

Berechnen Sie auf der Grundlage von Modell \(A\), wie viele Monate nach der Geburt ein Hund der betrachteten Rasse erstmals nicht mehr an Körpermasse zunimmt.

(zur Kontrolle: 25 Monate)

(2 BE)

Junge Hunde wachsen in ihren ersten Lebensmonaten sehr schnell zu ausgewachsenen Hunden heran. Zur Beschreibung der Zunahme der Körpermasse eines Hundes einer bestimmten Rasse in den ersten 25 Lebensmonaten werden die folgenden beiden Modelle betrachtet:

• Für Modell \(A\) wird für \(0 \leq x \leq 10\) der Graph aus Aufgabe 1 und für \(10 \leq x \leq 25\) die Tangente \(t\) (vgl. Aufgabe 1d) verwendet.
• Für Modell \(B\) wird für \(0 \leq x \leq 25\) der Graph \(G\) der Funktion \(g_{-0{,}25}\) aus Aufgabe 2 genutzt.

In beiden Modellen steht die \(x\)-Koordinate des jeweiligen Punkts auf den Graphen bzw. der Tangente für die Zeit in Monaten, die seit der Geburt des Hundes vergangen sind, und seine \(y\)-Koordinate für die momentane Änderungsrate der Körpermasse des Hundes in Kilogramm pro Monat. Dabei wird vereinfachend davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.

Formulieren Sie eine Aussage im Sachzusammenhang, die für beide Modelle für \(x = 4\) zutrifft.

(1 BE)

Geben Sie alle Werte \(a \in \mathbb R\) an, für die die Gleichung \(3x \cdot e^{-0{,}25x} = a\) genau eine Lösung besitzt.

(2 BE)

Der Graph besitzt den Hochpunkt \(H\big(4\big|\frac{12}{e}\big)\).

Begründen Sie, dass \(G\) der Graph der Funktion \(g_k\) mit \(k = -0{,}25\) ist.

(2 BE)

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_k \colon x \mapsto 3x \cdot e^{kx}\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\). Der Graph jeder Funktion \(g_k\) der Schar hat genau einen Extrempunkt \(E_k\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G\) einer Funktion dieser Schar.

Abb. 2

Alle Extrempunkte \(E_k\) liegen auf der Gerade \(h\). Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung von \(h\).

(5 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente \(t\) an \(G_f\) im Punkt \((10|f(10))\) und zeichnen Sie \(t\) für \(x \geq 10\) in Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: Gleichung von \(t \colon y = -0{,}12x + 3\))

(4 BE)

Es gibt eine Stelle \(x_0 \in [0;10]\), an der die lokale Änderungsrate von \(f\) mit der mittleren Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([0;10]\) übereinstimmt. Ermitteln Sie grafisch anhand von Abbildung 1 einen Näherungswert für \(x_0\).

(3 BE)