Abiturlösungen Mathematik Bayern 2024 Prüfungsteil A Stochastik 1

Bei einem Spiel wird ein Würfel einmal geworfen und ein Glücksrad einmal gedreht. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert. Das Glücksrad hat zehn gleich große Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 10 durchnummeriert sind. Man gewinnt das Spiel, wenn die mit dem Glücksrad erzielte Zahl kleiner ist als die mit dem Würfel erzielte Zahl, andernfalls verliert man das Spiel.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, das Spiel zu gewinnen, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ beträgt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

Betrachtung des Spiels als Laplace-Experiment

Das Spiel lässt sich als Laplace-Experiment auffassen. Jede Zahl des Würfels wird mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ geworfen, und jede Zahl des Glücksrads wird mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{10}$ erzielt (gleich große Sektoren). Sodass insgesamt $6\cdot 10=60$ gleichwahrscheinliche Ergebnisse möglich sind, deren Wahrscheinlichkeit jeweils $\frac{1}{60}$ beträgt.

Anzahl der Ergebnisse des Ereignisses „Gewinn":

„Man gewinnt das Spiel, wenn die mit dem Glücksrad erzielte Zahl kleiner ist als die mit dem Würfel erzielte Zahl, andernfalls verliert man das Spiel."

$$\begin{array}{rl}\text{„Gewinn"}=\{& (2;1);\\ & (3;1);(3;2);\\ & (4;1);(4;2);(4;3);\\ & (5;1);(5;2);(5;3);(5;4);\\ & (6;1);(6;2);(6;3);(6;4);(6;5)\}\end{array}\}15\text{Ergebnisse}$$

Die Laplace-Wahscheinlichkeit dafür, das Spiel zu gewinnen, beträgt somit:

$$P(\text{„Gewinn"})=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$$

Betrachtung des Spiels als zweistufiges Zufallsexperiment

Jede Stufe des Spiels (Würfel, Glücksrad) ist für sich betrachtet ein Laplace-Experiment.

Veranschaulichung als Baumdiagramm:

Baumdiagramm der für das Ereignis „Gewinn" relevanten Pfade

Mithilfe der 1. und 2. Pfadregel (Produkt- und Summenregel) ergibt sich:

$$\begin{array}{rl}P(\text{„Gewinn"})& =\underset{\text{2. Pfadregel}}{\underbrace{\underset{\text{1. Pfadregel}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}}}+\underset{\text{1. Pfadregel}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{10}}}}+\underset{\text{1. Pfadregel}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}}}+\underset{\text{1. Pfadregel}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}}}+\underset{\text{1. Pfadregel}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{10}}}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{4}{10}}+{\displaystyle \frac{5}{10}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{15}{10}}=\frac{15}{60}\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$