Bei einem Spiel wird ein Würfel einmal geworfen und ein Glücksrad einmal gedreht. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert. Das Glücksrad hat zehn gleich große Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 10 durchnummeriert sind. Man gewinnt das Spiel, wenn die mit dem Glücksrad erzielte Zahl kleiner ist als die mit dem Würfel erzielte Zahl, andernfalls verliert man das Spiel.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, das Spiel zu gewinnen, 14 beträgt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Betrachtung des Spiels als Laplace-Experiment

Das Spiel lässt sich als Laplace-Experiment auffassen. Jede Zahl des Würfels wird mit der Wahrscheinlichkeit 16 geworfen, und jede Zahl des Glücksrads wird mit der Wahrscheinlichkeit 110 erzielt (gleich große Sektoren). Sodass insgesamt 610=60 gleichwahrscheinliche Ergebnisse möglich sind, deren Wahrscheinlichkeit jeweils 160 beträgt.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A

P(A)=|A||Ω|=Anzahl der fürAgünstigen ErgebnisseAnzahl der möglichen Ergebnisse

Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).

Anzahl der Ergebnisse des Ereignisses „Gewinn":

„Man gewinnt das Spiel, wenn die mit dem Glücksrad erzielte Zahl kleiner ist als die mit dem Würfel erzielte Zahl, andernfalls verliert man das Spiel."

 

„Gewinn"={(2;1);(3;1);(3;2);(4;1);(4;2);(4;3);(5;1);(5;2);(5;3);(5;4);(6;1);(6;2);(6;3);(6;4);(6;5)}}15Ergebnisse

 

Die Laplace-Wahscheinlichkeit dafür, das Spiel zu gewinnen, beträgt somit:

 

P(„Gewinn")=1560=14

 

Betrachtung des Spiels als zweistufiges Zufallsexperiment

Jede Stufe des Spiels (Würfel, Glücksrad) ist für sich betrachtet ein Laplace-Experiment.

Würfel Glücksrad
Zahl P(Zahl") Zahl < Zahl P(Zahl<Zahl")
2 16  1  110
 3 16  1;2  210
 4 16  1;2;3  310
 5  16  1;2;3;4  410
 6  16  1;2;3;4;5  510

 

Veranschaulichung als Baumdiagramm:

Baumdiagramm der für das Ereignis „Gewinn" relevanten Pfade

Baumdiagramm der für das Ereignis „Gewinn" relevanten Pfade

Baumdiagramm - Pfadregeln (Knoten-, Produkt-, Summenregel)

Pfadregeln

Verzweigungsregel (Knotenregel)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.

1. Pfadregel (Produktregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.

2. Pfadregel (Summenregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.

Mithilfe der 1. und 2. Pfadregel (Produkt- und Summenregel) ergibt sich:

 

P(„Gewinn")=161101. Pfadregel+162101. Pfadregel+163101. Pfadregel+164101. Pfadregel+165101. Pfadregel2. Pfadregel=16(110+210+310+410+510)=161510=1560=14