Abiturlösungen Mathematik Bayern 2025 Prüfungsteil B Stochastik 1

Eine traditionsreiche Kleinkunstbühne bietet verschiedene Veranstaltungen an.

An einem Kabarettabend sind 200 Gäste anwesend.

In der Pause bestellen erfahrungsgemäß 65 % der Gäste einen Brotzeitteller. Es soll angenommen werden, dass die Anzahl der bestellten Brotzeitteller durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) beschrieben werden kann. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

\(A\): „Es werden genau 130 Brotzeitteller bestellt."

\(B\): „Es werden mehr als 140 Brotzeitteller bestellt."

(3 BE)

40 der 200 Gäste sind Inhaber eines Abonnements. Unter allen Gästen werden fünf signierte Bücher des auftretenden Kabarettisten verlost, wobei jeder Gast höchstens ein Buch gewinnen kann.

Betrachtet wird das Ereignis \(E\): „Genau zwei Inhaber eines Abonnements gewinnen ein signiertes Buch."

Es gilt \(P(E) = \dfrac{\Large \binom{40}{2} \cdot \binom{160}{3}}{\Large \binom{200}{5}}\).

Geben Sie \(P(E)\) in Prozent an. Übertragen Sie das beschriebene Zufallsexperiment der Verlosung und das Ereignis \(E\) in ein passendes Urnenmodell.

(3 BE)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Inhaber eines Abonnements unter den Gewinnern sind.

(3 BE)

Die fünf Bücher werden nacheinander verlost. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \( \large \frac{40}{200} \cdot \frac{160}{199} \cdot \frac{39}{198} \cdot \frac{159}{197} \cdot \frac{158}{196}\) berechnet werden kann.

(2 BE)

Die Karten für die Veranstaltung der Kleinkunstbühne können entweder im Verkaufsbüro oder im Internet erworben werden. 90 % der Kartenkäufe im Internet und 35 % der Kartenkäufe im Verkaufsbüro werden von Personen getätigt, die jünger als 60 Jahre sind. Insgesamt werden 54 % der Kartenkäufe von Personen getätigt, die mindestens 60 Jahre alt sind.

Ein Kartenkauf wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(J\): „Der Kauf wurde von einer Person getätigt, die jünger als 60 Jahre ist."

\(V\): „Der Kauf wurde im Verkaufsbüro getätigt."

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang das Ereignis \(\overline{J} \cap \overline{V}\).

(1 BE)

Ermitteln Sie, z. B. mithilfe eines Baumdiagramms, die Wahrscheinlichkeit \(p\) dafür, dass der Kauf im Internet getätigt wurde.

(zur Kontrolle: \(p = 0{,}2\))

(5 BE)

Berechnen Sie für den Fall, dass der Kauf von einer Person getätigt wurde, die jünger als 60 Jahre ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kauf im Verkaufsbüro getätigt wurde.

(3 BE)