Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 3}\) mit Definitionsmenge \(D_f\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), einen beliebigen Punkt \(Q(x|f(x))\) auf \(G_f\) sowie den Punkt \(P(1{,}5|0)\) auf der \(x\)-Achse. Abb. 1...

Zeigen Sie, dass für die Entfernung \(d(x)\) des Punktes \(Q(x|f(x))\) vom Punkt \(P(1{,}5|0)\) gilt: \(d(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25}\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[P(1{,}5|0) \qquad Q(x|f(x)) \qquad f(x) = \sqrt{x + 3}\,; \quad x \in...

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts \(Q_E(x_E|y_E)\), der von \(P\) den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie \(Q_E\) in Abbildung 1 ein. (zur Kontrolle: \(x_E = 1\)) (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Notwendige Bedingung für...

Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke \([PQ_E]\) und die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(Q_E\) senkrecht zueinander sind. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Überlegung: Wenn die Verbindungsstrecke \([PQ_E]\) und die Tangente an \(G_f\) im Punkt...

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\) begrenzt wird. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Der Inhalt des Flächenstücks \(A\), das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\)...

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_g\) einer in \(\mathbb R \backslash \{1\}\) definierten gebrochen-rationalen Funktion \(g\) mit folgenden Eigenschaften: Die Funktion \(g\) hat in \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; \(G_g\) verläuft stets...

Die Funktion \(g\) hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\): \[\textsf{I}\enspace y = x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\] \[\textsf{II}\enspace y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{x - 1}\]...

Betrachtet wird nun die Funktion \(h\) mit \(h(x) = \ln(g(x))\). Geben Sie mithilfe des Verlaufs von \(G_g\) die maximale Definitionsmenge \(D_h\) von \(h\), das Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\) sowie einen Näherungswert für die...