Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto 3x \cdot (-1 + \ln x)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{h}\) von \(h\) im Bereich \(0{,}75 \leq x \leq 4\). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{h}\) im Punkt...

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(G_{h}\). Geben Sie den Grenzwert von \(h\) für \(x \to +\infty\) an und begründen Sie, dass \([-3;+\infty[\) die Wertemenge von \(h\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Monotonieverhalten und Verhalten im...

Geben Sie für die Funktion \(h\) und deren Ableitungsfunktion \(h'\) jeweils das Verhalten für \(x \to 0\) an und zeichnen Sie \(G_{h}\) im Bereich \(0 < x...

Die Funktion \(h^{*}\colon x \mapsto h(x)\) mit Definitionsmenge \([1;+\infty[\) unterscheidet sich von der Funktion \(h\) nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu \(h\) ist die Funktion \(h^{*}\) umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge...

Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von \(h^{*}\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt \(S\), in Abbildung 1 ein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Graph einer Umkehrfunktion {slider Umkehrfunktion}...

Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt \(A_{0}\) dem Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{e}^{x_{S}} (x - h^{*}(x)) dx\) entspricht, wobei \(x_{S}\) die \(x\)-Koordinate von Punkt \(S\) ist. Der Graph von \(h^{*}\), der...

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in \([0;16]\) definierten Funktion \(V \colon t \mapsto V(t)\). Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnet...

Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion \(V\) näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Graphische Bestimmung der momentanen Änderungsrate einer Funktion...

Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein \(t \in [0;10]\) die Beziehung \(V(t + 6) = V(t) - 350\) gilt. Entscheiden Sie mithilfe von Abbildung 2, ob für \(t = 5\) diese Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)...

In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für \(0 \leq t \leq 12\) modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon t...

Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals \(\displaystyle \int_{a}^{b} g(t) dt\) für \(0 \leq a...