Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \, \colon x \mapsto \frac{x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R^+ \, \backslash \{1\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) =...

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^x \cdot \left( 2x + x^2 \right)\). Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[f(x) = e^x \cdot (2x + x^2)\] Ein Produkt ist genau dann...

Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = x^2 \cdot e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1) = 2e\) gilt. (3 BE) Lösung zu...

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{a,c} \, \colon x \mapsto \sin (ax) + c\) mit \(a,c \in \mathbb R^+_0\). Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für \(a\) und einen möglichen Wert für...

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von \(a\), welche Werte die Ableitung von \(g_{a,c}\) annehmen kann. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[g_{a,c}(x) = \sin(ax) + c\,; \quad a,c \in \mathbb R^+_0\] Erste Ableitung \(g'_{a,c}\) bilden: {slider...

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: {slider...

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b In der nachfolgenden Beschreibung entspricht die Länge von zwei Kästchen des Koordinatengitters einer...