Gegeben ist die Funktion \(f\,\colon x \mapsto 2 - \sqrt{12-2x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f = \; ]-\infty;6]\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) mit den...

Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) und geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f'\) an. Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x \, \to \, 6} f'(x)\) und beschreiben Sie, welche Eigenschaft von \(G_f\) aus diesem Ergebnis...

Geben Sie das Monotonieverhalten von \(G_f\) und die Wertemenge von \(f\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Monotonieverhalten von \(G_f\) {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(f'(x)...

Geben Sie \(f(-2)\) an und zeichnen Sie \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf die folgenden Aufgaben: \(-3 \leq y \leq 7\)). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Funktionswert...

Die Funktion \(f\) ist in \(D_f\) umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) von \(f\) an und zeigen Sie, dass \(f^{-1} (x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) gilt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e \[f(x) = 2 - \sqrt{12 - 2x}\,;...

Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h\,\colon x \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) ist die Parabel \(G_h\). Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist ein Teil dieser Parabel. Berechnen Sie die Koordinaten...

Zeichnen Sie die Parabel \(G_h\) - unter Berücksichtigung des Scheitels - im Bereich \(-2 \leq x \leq 4\) in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man diesen Teil von \(G_h\) an der Winkelhalbierenden \(w\), so entsteht eine herzförmige Figur;...

Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit in Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1 cm in Wirklichkeit entsprechen. Berechnen Sie den Inhalt des von \(G_h\)...

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_h\) im Punkt \((-2|h(-2))\). Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Gleichung der...

Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug dargestellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für \(-2 \leq x \leq 0\) nicht mehr durch \(G_h\), sondern durch den Graphen...