Teilaufgabe 1a
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 1
Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\). Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und...
Teilaufgabe 1b
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 1
Language: *
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Nach dem Monotoniekriterium lässt sich das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) mithilfe der ersten...
Teilaufgabe 1c
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 1
Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente \(t\) an \(G_{f}\) im Punkt \((3|f(3))\). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(t\) die \(x\)-Achse schneidet, und zeichnen Sie \(t\) in die Abbildung 1 ein. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe...
Teilaufgabe 2a
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 1
Language: *
Nun wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x}f(t)dt\) betrachtet; ihr Graph wird mit \(G_{F}\) bezeichnet. Begründen Sie, dass \(F\) in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe...
Teilaufgabe 2b
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 1
Language: *
Die Gerade mit der Gleichung \(y = x - 1\) begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für \(F(1)\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Flächeninhalt...
Teilaufgabe 2c
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 1
Language: *
Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto -cos(\frac{\pi}{2}x)\). Beschreiben Sie, wie \(G_{f}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x...
Teilaufgabe 2d
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 1
Language: *
Berechnen Sie das arithmetische Mittel der beiden in den Aufgaben 2b und 2c berechneten Näherungswerte. Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) für \(0 \leq x \leq 3\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 (4 BE) Lösung zu...
Teilaufgabe 3a
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 1
Language: *
Für jeden Wert \(k > 0\) legen die auf \(G_{f}\) liegenden Punkte \(P_{k}(-k|f(-k))\) und \(Q_{k}(k|f(k))\) gemeinsam mit dem Punkt \(R(0|1)\) ein gleichschenkliges Dreieck \(P_{k}Q_{k}R\) fest. Berechnen Sie für \(k = 2\) den Flächeninhalt des...
Teilaufgabe 3b
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 1
Language: *
Zeigen Sie, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(k\) sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[A(k) \frac{2k}{x^{2} + 1}; \; k >...
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