Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{-2\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^2-9}{x+2}\). Geben Sie die Nullstellen von \(f\) sowie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an. (2 BE) Lösung zu...

Geben Sie das Verhalten für \( x \to -\infty\) sowie für \(x \to +\infty\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{x^2-9}{x+2}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-2\}\] \[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = -\infty\] \[\lim...

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g\) mit \(g(x) = x^3+x^2\). Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(g\). Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(g\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) = x^3+x^2; \; D_g =...

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von \(g\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Abb. 1 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = x^3+x^2; \;D_g = \mathbb R\] Der Inhalt der Fläche, die der Graph von \(g\) mit der \(x\)-Achse einschließt,...

Gegeben ist die in \([-3;+\infty[\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto \sqrt{x+3}-2\). Beschreiben Sie, wie der Graph von \(h\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R_0^+\) definierten Funktion \(w \colon x \mapsto \sqrt{x}\) hervorgeht. (2 BE)...

Begründen Sie, dass \(h\) umkehrbar ist, und beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion \(h^{-1}\) von \(h\) aus dem Graphen von \(h\) hervorgeht. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von \(h^{-1}\) an. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b...

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl a die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f_a\) mit \(f_a(x) = ax^2\). Abbildung 2 zeigt den Graphen von \(f_{\frac{1}{2}}\) sowie die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f_{\frac{1}{2}}\) im Punkt \(\big(4...

Weisen Sie nach, dass für jeden Wert \(u \in \mathbb R\) die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((u|f_a(u))\) die \(y\)-Achse im Punkt \((0|-f_a(u))\) schneidet. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[f_a(x) = ax^2; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a >...