Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_g\). Geben Sie \(D_g\) sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[g(x) =...

Zeigen Sie, dass der Graph von \(g\) in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[g(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}; \; D_{g} = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\] Der Graph von \(g\) besitzt in genau einem Punkt eine...

Betrachtet werden die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\) und \(F\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_F\) von \(F\). Abb. 1 Bestimmen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^7 f(x)dx\)....

Bestimmen Sie den Funktionswert von \(f\) an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Abb. 1 \[f(1) = F'(1) = 4\] Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Abb. 1 Abbildung 1 zeigt den Graphen...

Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{(2x - 3)}\) mit Definitionsmenge \(D_h = \; ]\frac{3}{2};+\infty[\). Geben Sie die Nullstelle von \(h\) sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(h\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a...

Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) besitzt die Nullstelle \(x = 2\), außerdem gilt \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb R\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\). Betrachtet wird die Funktion \(g \colon x \mapsto \ln{\left(...

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\). Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a \[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \;...

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate...