Geben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2 - \ln{(x - 1)}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. Zeigen Sie, dass \(D_{f} = \; ]1;+\infty[\) ist, und geben Sie das Verhalten von \(f\) an den...

Berechnen Sie die Nullstelle von \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\] Für die Berechnung der Nullstelle von \(f\), wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt. Die entstehende Logarithmusgleichung...

Beschreiben Sie, wie \(G_{f}\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln{x}\) hervorgeht. Erklären Sie damit das Monotonieverhalten von \(G_{f}\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = 2 - \ln{(x -...

Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat....

Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park. Abb. 1 Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen...

Berechnen Sie die Stelle \(x_{m}\) im Intervall \([2;8]\), an der die lokale Änderungsrate von \(f\) gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\] Die...

Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert \(x_{m}\) könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c 1) Die Sekante durch die...

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels \(\alpha\), den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen (vgl. Abbildung 2). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Die Größe des Winkels \(\alpha\) entspricht der...

Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse im...

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{k} \colon x \mapsto kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und den zugehörigen Graphen \(G_{k}\). Für jedes \(k\) besitzt der Graph...

Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\). (zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\] Die notwendige...

Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt...

Für den in Aufgabe 3c bestimmten Wert von \(k\) zeigt Abbildung 3 den zugehörigen Graphen mit seiner Wendetangente. In diesem Koordinatensystem sind die beiden Achsen unterschiedlich skaliert. Bestimmen Sie die fehlenden Zahlenwerte an den...